巧求平面法向量(方程法)

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1、巧求平面法向量在空间直角坐标系中，平面的一般方程是（其中系数a,b,c不同时为零），则向量为平面的法向量。根据这一原理，我们可以按下列方法求平面的法向量。定理1：若平面α不经过原点,，取平面α内不共线的三点A、B、C，将其分别坐标代入关于的方程（等号右边的1也可以是其它任意非零常数），求出系数a,b,c的一组值，则向量为平面α的法向量定理2：若平面α经过原点,取平面α内与原点不共线的两点A、B，将其坐标代入关于的方程，求出系数a,b,c的一组值，则向量为平面α的法向量。例1：已知如图正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长AA1=2

2、，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC1，平面A1BC1，平面ABC1D1的法向量。解（1）因为平面BDC1过原点D,将点B(1,1,0),C1(0，1，2)代入得：所以。不妨设c=1,可得b=－2,a=2。所以是平面BDC1的法向量A1B1C1D1ABCDExyz（2）因为平面A1BC1不过原点D,将点A1(1,0,2),B（1，1，0）C1(0，1，2)代入得：所以所以为平面BDC1的法向量(3)因为平面ABC1D1不过原点D,将A1(1,0,2),B（1，1，0）C1(0，0，2)代入1代入得所以是平面ABC1D1的法

3、向量。例2（2010·天津）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明平面（3）求二面角的正弦值。解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设,依题意得,,,（1）解：易得,于是.所以异面直线与所成角的余弦值为（2）证明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：平面不过原点，将D、E、F的坐标分别代入，则,即所以是平面的法向量。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而所以二面角的正弦值为