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1、函数单调性的讨论重庆师范大学数学与应用数学(师范)指导老师中文摘要：函数的单调性是函数的一条重要性质，为此，本文概括、总结了用定义法、变化趋势法、运算法则法、复合法、等价形式法等五种方法判断函数的单调性.同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项以举例的方式作了具体的介绍，这样有助于更好地理解和掌握这些方法，从而解决有关函数单调性的问题.关键词：函数单调性判断方法Abstract:Themonotonicityofthefunctionisanimportantpropertyofthefunction,forthisreason,thistextsummarize,summariz
2、ewithdefinelaw,variationtendencylaw,algorithmlaw,compoundlaw,waitforformlawofthepricefivemethodjudgemonotonicityoffunction.Takewayforexampleastheconcreteintroductiontothecharacteristic,applicablescope,attentivemattersofeachkindofmethodatthesametime,facilitateunderstandingandgraspingthesemethod
3、sbetterlikethis,thussolvetheproblemthataboutfunctionmonotonicity.KedWord：FunctionalMonotonicityJudgmentmethod一、函数单调性进行认识定义设函数f(x)在数集A有定义，若任意州，x2A且x{/(%2)),称函数/(x)在A严格增加(严格减少)。若A是区间，此区间称为函数f(x)单调区间。由此定义看来，函数在一个数集上有定义，就可以判断其单调性。并非一定要在一个区间上才可以判断。下面我们再來看中学数学教材中函数单调性的概念。一般的，设函
4、数/(x)的定义域为I,如果对定义域I内的某一个区间D内的任意两个自变量X,X,,当州〈X吋，都有/(x)/(%,))，则称函数/（x）在区间D上是增函数（减函数）。可以看到，上面两个概念的差别在于，前者是在人造数集上定义，后者是在区间上定义。我们知道，数集不一定是区间，而区间一定是数集。所以中学数学中函数单调性的概念包含于高等数学中函数单调性的概念，二者并不矛盾。/(x)=2x+l(x>0)2x-(x<0)，判断函数/⑴在它的定义域（-8,0）U（0,+8）上的单调性函数的图像如下图示也就是说，它的函数量随自便量X的增大而增大,所以此函数在其定义域（-0
5、0,0）U（0,+°°）上是增函数。高屮数学数列屮多处提到了单调数列，而数列木身就是定义在口然数集或其有限了集上的函数，如果函数的单调性一•定要在区间上判断,则理解数列的单-调性就非常困难。因为在自然数集或其有限子集上划分不出一个区间来。而应用主观性就好理解，只要数列｛an｝的项随项数n的增大而增大，则称数列｛色｝为递增数列;反之，成为递减数列下面我门就利用单调性的定义来进行解题.例2已知函数/（x）=x2+-（兀工0,常数awR）若/（兀）在区间［2,+°°）上x是增函数，求a的取值范围.解析借助函数单调性的定义揭示函数值与自变量的关系，从定义法证明增函数的过程切入.X］>x2>
6、=2,则/（X］）-/（勺）兀；=
7、兀］兀2（兀
8、+兀2）1由x2>%)>2得兀］£(兀］+兀2)>1®-x2<0,x{x2>0.要使/(x)在区间［2,+°°)上是增函数，只需/(x,)-/(x2)<0.所以a<16二、函数单调性的判别单调性是函数最重要的性质Z—•导数的引入虽然给单调性的研究带来了极大的方便，但是它并不能解决与单凋性有关的所有问题.木文结合近几年的试题给出判断单调性的几种方法，以飨读者.1、变化趋势法所谓增函数即当自变量增加吋，函数值也增加；减函数即当自变量增加吋，函数值却减小•因此，我们可以根据函数值随自变量的变化趋势来判断其单调性.例3判断函数/(x)=Vx
9、2+l-%(x>0)的单调性因为弘)=丙十=也里土V-X2+1+Xy/x2+1+X显然当兀为正数且逐渐增加时，o也逐渐增加，则其倒数逐渐减小，即函数值逐渐减小，所以函数于⑴在区间(o,+8)上为减函数.2、运算法则法由上面的变化趋势法我们不难得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若f(x)、g(x)都是单凋增(减)函数，贝ijf(x)+g(x)也是单凋增(减)函数;若f(x)单凋递增，g(x)单凋递减，贝ljf(x)-g(x)单调递增；若f(x)单凋递减，g(
