高中数学复习专题讲座(第37讲)函数方程思想

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1、题目高中数学复习专题讲座函数方程思想高考要求函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决重难点归纳函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化考生应做到（1）深刻理解一般函数y=f(x)、y=

2、f–1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略典型题例示范讲解例1已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［lo

3、gm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由命题意图本题重在考查函数的性质，方程思想的应用知识依托函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组错解分析第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根技巧与方法本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题解（1）x＜–3或x＞3∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3设β≥x1＞x2≥α，有当0＜m＜1

4、时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数第8页　共8页　（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］∵0＜m＜1,f(x)为减函数∴即即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根∴∴0＜m＜故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在例2已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角求证m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证

5、明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m命题意图本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围知识依托一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式错解分析第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)＜0，第(2)问中如何保证f(x)在［1,3］恒小于等于零为关键技巧与方法深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列列式要周到，不遗漏（1）证明f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0依题意第8页　共8页　又A、B锐角为三角形内两内角∴＜A

6、+B＜π∴tan(A+B)＜0，即∴∴m≥5(2)证明∵f(x)=(x–1)(x–m)又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3(3)解∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m=且≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8即1+(m+1)+m=8，∴m=3例3关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为解析设t

7、=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值答案(–∞,–1)∪(2,+∞)例4对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是

8、函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值解（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，第8页　共8页　由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根∴Δ=b2–4a