信号与系统王明泉第四章习题解答

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1、第4章拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.1学习要求（1）深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域及基本性质；会根据定义和性质求常用信号的拉普拉斯变换；（2）正确理解拉普拉斯变换的时移、频移、时域微分、频域积分、初值定理、终值定理等性质及其应用条件；（3）能应用部分分式法和常用的拉普拉斯变换对求解拉普拉斯反变换；（4）掌握复频域方法分析线性时不变系统，求解系统的全响应、零输入响应、零状态响应和单位冲激响应；（5）正确理解复频域法中，输入、系统状态与响应的关系，理解复频域方法与频域方法的异同点和各自的优缺点；（6）掌握系统的零

2、极点分析。4.2本章重点（1）单边拉普拉斯变换的定义和收敛域；（2）单边拉普拉斯变换及逆变换的计算；（3）单边拉普拉斯变换的性质及常用变换对的综合应用；（4）线性时不变系统的复频域分析方法；（5）系统函数与零极点的概念及s域系统特性分析；（4）与系统稳定性；4.3本章的内容摘要4.3.1拉普拉斯变换（1）单边拉普拉斯变换的定义正变换逆变换式中，。（2）收敛域把使信号的拉氏变换存在的值的范围称为的收敛域（RegionofConvergence），缩写为ROC，可以用下面极限表示：上式表明，极限在条件下为零，在S平面上就是

3、收敛域。称为收敛坐标，通过的垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴。如图4-1所示。图4.1平面中的收敛域（3）常见函数的拉普拉斯变换如表4-1所示。表4.1常用函数的拉氏变换序号单边信号拉氏变换112（是正整数）3456（是正整数）789101112（是正整数）4.3.2拉普拉斯变换的性质如表4-2所示。表4.2拉普拉斯变换性质（定理）序号性质名称时域域1线性2时移特性3s域平移特性4时域微分特性5时域积分特性6s域微分特性7域积分特性8尺度变换特性9初值定理10终值定理11时域卷积定理12域卷积定理4.3.3拉普拉斯逆变

4、换求的逆变换就是求一个复变函数积分，直接积分要熟悉复变函数理论，一般是比较困难的。但是，实际问题中，一般为的有理分式，可以将展开部分分式，然后利用单边拉普拉斯变换的性质并结合常用变换对求逆变换。这种方法称为部分分式展开法。含有高阶导数的线性、常系数微分（或积分）方程式将变换成的多项式，或变换成两个的多项式之比。它们都称为的有理式，一般具有如下形式式中，系数、都为实数，和是正整数。要把展开部分分式，必须先求出的根。为了便于分解，将写作以下形式式中，为方程式的根，也称为的极点。同理，也可改写为式中，为方程式的根，也称为的零

5、点。按照极点的不同特点，部分分式展开方法由以下几种情况：1、极点为实数，无重根其中，所以，2、包含共轭复数极点这种情况仍可以采用上述实数极点求分解系数的方法。式中，。令，则有3、有多重极点其中，单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求，这种方法称为留数法，也称为反演积分法。留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数在围线中所有极点的留数运算，即1、为有理真分式，且只有个单值极点2、为阶有理真分式，且有阶重极点及阶单值极点4.3.4拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系双边拉氏变换的积分限是取从到，而所乘因

6、子为复指数，，它涉及全部平面。如果不改变积分限，而是将复指数的取零值，也即局限于平面的虚轴，则得到傅立叶变换。双边拉氏变换为广义的傅立叶变换。如果不改变双边拉氏变换式中的复指数因子，但将积分限限制于0到就得到单边拉氏变换。在取傅立叶变换时，若当满足函数，并将乘以衰减因子也就成为单边拉氏变换。如果要从已知的单边拉氏变换求傅氏变换，首先应判明函数为有始信号，即当时，然后根据收敛边界的不同，按以下三种情况计算：（1）当时，只存在拉氏变换，不存在傅氏变换；（2）当时，既存在拉氏变换又存在傅氏变换。而且以代换，就可以由求，即；（

7、3）当时，这时同时存在拉氏变换和傅氏变换，但不是简单的代换关系。这时由求，除把中的以代换外，还必须另外加上冲激函数及其各阶导数项。4.3.5线性系统复频域分析（1）零状态响应系统的零状态响应可按以下步骤求解：(1)求系统输入的单边拉普拉斯变换；(2)求系统单位冲激响应的拉氏变换；(3)求零状态响应的单边拉普拉斯变换，；(4)求的拉普拉斯逆变换。（2）系统常系数微分方程的拉氏变换解拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为域的代数方程，便于运算和求解；同时，它将系统的起始状态自然地含于拉普拉

8、斯变换方程中，既可分别求得零输入响应、零状态响应，并可求得系统的全响应。具体步骤如下：（1）对微分方程逐项求拉普拉斯变换；（2）对拉氏变换方程进行代数运算，求得系统的全响应的拉氏变换；（3）对响应的拉氏变换进行逆变换，得到系统的全响应，还可以得出系统的零状态响应和零输入响应。4.3.6系统函数与系统特性（1）系统函数的定义系统零状