高中物理八大解题方法之四：导数法

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1、高中物理解题方法之导数法江苏省特级教师戴儒京在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布图1.两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的点的合成以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y轴，则各点的电场强度可表示为：=因为原点的电场强度，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0

2、，所以，从O点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。方法1.用三角函数法求导数中把代入得。令，求导数=，欲使，需（舍去）或即，此处，，将其代入得。-14-方法2.用代数法求导数=，令,对求导数得,令其分子为0，得，代入得。3.图象用Excel作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴y表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。图2.两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的分布此图象也验证

3、了以上所得的结果：图象中令，则当处电场强度最大。例2、电源输出功率最大问题的研究例题．如图所示，R为电阻箱，为理想电压表．当电阻箱读数为R1=2Ω时，电压表读数为U1=4V；当电阻箱读数为R2=5Ω-14-时，电压表读数为U2=5V．求：(1)电源的电动势E和内阻r。图3电路图(2)当电阻箱R读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值Pm为多少?【解析】由闭合电路欧姆定律：　　联立上两式并代入数据解得：，（2）解法1.代数法，电功率表达式：将上式变形为：，由上式可知时有最大值解法2.导数法，电功率表达

4、式：，根据求导公式，得导数：=，当时，导数的分子为零，即此时有极大值，将代入式得最大值本题的物理意义可用图4图象说明：图4电源输出功率与外电路电阻的关系图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有两个电阻值。例3.证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大-14-大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量还是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒,但动

5、量还是都守恒的。为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解决知其所以然的问题。弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰

6、撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。如图1所示，设质量为m1的小球，速度为v1，与质量为m2的小球，速度为v2，发生碰撞，图5碰撞碰撞后两球的速度分别为v1’、v2’，取向右为矢量的正方向。由系统的动量守恒定律得 m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’……①则碰撞中动能损失为②由①得③③代入②得，求对的导数，得-14-令0，解得，④即当时，有最大值。将④代入③解得，

7、即，两小球粘合在一起时，也就是完全非弹性碰撞情况下，动能损失最大。将④代入②解得动能损失最大为。例题.某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。图中两摆摆长相同，悬挂于同一高度，、两摆球均很小，质量相等皆为m。当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。向右上方拉动球使其摆线伸直并与竖直方向成450角，然后将其由静止释放。求A球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上摆的最大角度的最大值和最小各值各是多少？图6解：B球的初始高度为，碰撞前球的速度为.在不考虑摆线质量的情况下，根据题意及机械能守恒定律得

8、：①②弹性碰撞时，动量守恒有③动能守恒有④解得，，根据，得，为A球上升的最高高度。根据，得，为A球上摆的最大角度。完全非弹性碰撞，即A、B两球粘合在一起时，动量守恒有，解得，根据，得，为A球上升的最大高度的最小值。根据，得，为A球上摆的最大角度的最小值。例4.电磁感应问题如图，质量为M的足够长金属导轨abcd-14-放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水