矩阵论定义定理总结

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1、........矩阵论1．行列式的相关知识：1.1定义：由个数组成的一个n阶行列式为即所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，其中每一项的符合由排列的奇偶性决定。n阶行列式的展开原理：定义1.1.2在n阶行列式D中，任选k行和k列（），将其交叉点上的个元素按原来位置排成一个k阶行列式M，称为D的一个k阶子式。在D中划去M所在之k行k列后余下的个元素按照原来位置排成的n-k阶行列式，称为M的余子式。定义1.1.3设D的k阶子式M在D中所在行列指标分别是和，则称为M的代数余子式，其中为M的余子式。定理1.1.1（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定k行，则由这k

2、行元素所组成的一切k.专业学习资料.........阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于和列式D。定理1.1.4（克莱姆法则）：若线性方程组（1.1.7）的系数行列式则方程组（1.1.7）有唯一解，且，其中是将中第列换成（1.1.7）式右端的常数项所得的行列式，即该定理通常称为克莱姆法则。特别地，当时，方程组（1.1.7）又称为齐次线性方程组。若其系数行列式不为零，则由克莱姆法则知它必有唯一零解行列式的降阶定理定理1.6.1设A和D分别为n阶及m阶的方阵，则有定理1.6.2设A，B，C，D皆为n阶方阵，且满足AC=CA，则.专业学习资料.........定义1

3、.2.4向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。引理1.3.1若齐次线性方程组的系数矩阵的秩r

4、专业学习资料.........即乘积的秩不超过各因子的秩。定理1.3.6设A是一个矩阵，如果P是s阶可逆方阵，Q是n阶可逆方阵，那么定义1.3.5设是一个n阶方阵，A的主对角元素的和称为A的迹，并记之为,即解的判别定理定理1.4.1线性方程组有解的充要条件为。其中系数矩阵A与增广矩阵B的秩之间只有两种可能，即或.专业学习资料.........定义1.4.1齐次线性方程组（1.4.5）的一组解称为方程组（1.4.5）的一个基础解系，若1）线性无关；2）方程组（1.4.5）的任何一个解都能用线性表示。定理1.4.2若齐次线性方程组有非零解，则它的基础解系必存在，且基础

5、解系所含解的个数为，其中r为系数矩阵的秩。矩阵的初等变换与初等矩阵定义1.5.1数域P上的矩阵的下列三种变换称为初等行变换：1）以P中非零的数乘矩阵的某一行；2）把矩阵中某一行的倍数加到另一行；3）互换矩阵中两行的位置。同理定义初等列变换，统称为初等变换。定义1.5.2单位矩阵E经过一次初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵。定理1.5.1对一个矩阵A作一次初等行变换，相当于对A左乘一个相应的.专业学习资料.........初等矩阵。对A作一次初等列变换，则相当于对A右乘一个相应的初等矩阵。定义1.5.3矩阵A与B称为等价的，若B可由A经过一系列初等变换得到。定理1.

6、5.2初等变换不改变矩阵的秩。推论1.5.1n阶方阵可逆的充要件是它与单位矩阵等价。定理1.5.3矩阵A与B等价的充要条件是有初等矩阵使推论1.5.3两个矩阵A与B等价的充要条件为存在可逆阵P与可逆阵，使得定义1.5.4数域P上n阶方阵A与B称为合同的，若数域P上存在可逆的n阶方阵C，使合同必等价，等价不一定合同。分块矩阵的秩定理1.6.4设n阶方阵其中为阶方阵，且。则定理1.6.5设A和D分别为n阶和m阶的方阵，则定理1.6.8设A与B分别为和矩阵，则线性空间与线性变换.专业学习资料.........集合映射变换线性空间基维数坐标（略）定义2.2.2设与是n维线

7、性空间V的两个基，且则矩阵A称为由基到的过渡矩阵还有坐标变换公式定义2.2.2数域P上的两个线性空间与称为同构的，如果由到有一个双射，且1）2）其中是V中任意向量，k是P中任意数。此时就称为与的一个同构映射。定理2.2.1数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。.专业学习资料.........子空间（略）定理2.3.2两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。定理2.3.3（其中是由生成的空间）定理2.3.4设W是数域P上的n维线性空间V的一个m维子空间，是W的一个基，则这组基向量必定可扩充为线性空间V的基，即在V中必定可找到个向量，使得是

8、V的一个基