典型的解直角三角形应用问题

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1、典型的解直角三角形应用问题解直角三角形广泛应川于社会的方方面面，涉及航空、建筑、工业、植树造林、水利工程等。解答这类问题主要是把实际问题转化为解肓角三角形问题，即将实际问题中的数量关系，转化为直角三角形中元素之间的关系，并画出正确的示意图，利用已学过图形的性质,作出必要的辅助线來解决。解直角三角形的关键是构造直角三角形，然后再利用有关的三角知识进行求解。下面举例说明。例1如图1,某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆。测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为3045。，在B地测得C地的仰角为6

2、0°。已知C地比A地高200m,电缆BC至少长多少米（精确到lm）?解：作CHLAM于乩过B作BD1AH于d,BELCH于e。由题意知CH=2QQ处，设BC=xin。在恋边中，込眈说化卜CS=BCsm60°=—x2oAH=CHcot45°=200（血）AD=AH-DH=AH-SE=200--x所以2=200-—xBD・EH・CH-CE2在RtLABD屮，ZBAD=30°tan30°=—AD所以BD二3O由此得200-^=4(200-lx)解得x=200^/5—200«146.41故电缆BC至少需要147

3、m。点拨：木题是典型的长度（距离）计算问题，解这类题的关键就是要在所给出的图形中构造和关的直角三角形，进而利用锐角的三角函数知识构造出方程计算即可。这是解直角三角形问题的一种常用方法，希望同学们认真掌握。例2如图2,—艘漁船在A处观测到东北方向有一小岛，已知小岛C周

4、韦

5、4.8海里范围内是水产养殖场。渔船沿北偏东方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东方向，这时渔船改变航线向正东（沿BD线）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？图2解：过点B作BMLAH于此故BM//AF故ZABM=30°

6、在中，AM=2AB=5BM=5旃过点C作CN1AH于n,交BD于K在RtLBCK中，ZCBK=90°-60°=30°设CK=x,则SK=cot30°=73x在RtLACN中，因ZC^=90°-45°=45°,故an二CNAWMN=CK+KN又MN=BK,BM=KN：•5+弟x=x+5弟,解得％二5因5海里＞4.8海一里，故渔船没冇进入养殖场的危险。点拨：本题是航海问题。解答是通过已知方位角，构造出它们所在的三角形，进而利用有关的三角两数知识解决，解题关键是找出适当的三角形。渔船继续航行有无危险，就是看一

7、看所构成的直角三角形的直角边CK与水产养殖场的半径孰大孰小。通过以上两例，可以看出解决这类问题要掌握转化的思想方法，把实际问题正确地转化为数学模型□□価出图形（包括可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三介形和矩形，将解非直角三角形问题转化为解直角三角形问题。通常是添设高线，例如筹腰三角形、梯形等，便可找到思路），并找岀要解的百角三角形，然后根据锐角三角形函数，选择合适的关系式（使运算尽可能简便，H.不容易出错），解出所求的未知数的值，并H•检验所求出的解是否合理就行了。思考题：在建筑楼梯时，设计者要考

8、虑楼梯的安全程度，如图3,倾斜的虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角勺，一般情况下，倾角*愈小，楼梯的安全程度愈高。设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾如由久减至这样楼梯占用地板的长度由久增加到血，己知心=4皿厲=40。，=36°。楼梯占用地板的长度增加了多少?