应用导数揣摸函数的单调性教案

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1、§1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性【学习要求】1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证切一•些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【学法指导】结合函数图象(儿何直观)探讨归纳两数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代Illi思想.-般地，在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:导数函数的单调性fz(x)>0单调递增ff(x)<0单调递—减—f‘(x)=0常函数探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题1观察

2、下而四个函数的图象，冋答函数的单调性与其导函数的正负有何关系?yOab<:X答：⑴在区间(一°°,+°°)内，y'=1>0,y(x)是增函数：(2)在区间(一8,0)内,y'=2x<0,y(x)是减函数；在区间(0,十8)内，y'=2x>0,y(x)是增函数；(3)在区间(一8,+8)亦，y'=3xGo,畑是增函数;(4)在区间(一8,0),(0,十8)内，y'=—^7<0,y(x)是减函数.小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，如果f'(x)>(),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果V(x)<0

3、,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.问题2若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，那么f‘(x)—定大于零吗？答：由问题1中⑶知f'(x)$0恒成立.问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1屮(4)的单调区间.(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答:(1)不能用“U”连接,只能用“,”或“和”字隔开.问题1中(4)的单调递减区间为(一8,0),(0,+8).(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集.例1已知导函数f‘(x)的下列信息：当l<

4、x<4时，(x)>0；当x>4或x0,可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4或XVI时,r(x)<0,可知f(x)在此区间内单调递减;当x=4或x=l时，F(x)=0,这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示.小结本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了.跟踪训练1函数y=f(x)的图象如图所示，试画出导函数f‘(x)图象的人致

5、形状.解f‘(x)图象的人致形状如下图:注：图象形状不唯一.例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)=x3—4x2+x—1；(2)f(x)=2x(ex-l)-x2；(3)f(x)=3x2—21nx.解(l)f'(x)=3x2-8x+1.令3x2-8x+1>0,解此不等式,得因此，区间(一8,4和+T为f(x)的单调增区间.令3x2—8x+1<0,解此不等式,得或。呼4—4+^T^30

6、；当xW(—1,0)时,f(x)<0；当xe(0,+8)时,f(x)>0.故f(x)在(一8,-1),(0,+®)上单调递增,在(—1,0)上单调递减.(3)两数的定义域为(0,+8),,23x2—1f(x)=6x--=2-^—.3x2—1令f‘(x)>0,即2・>0,x解得一¥¥乂Vx>0,3x2—1令f'(x)<0,即2・<0,X解得xv—平或00,二0

7、)求出卩(x)=()的根(也可以直接解f'(x)>0和F(x)<0)；(4)用『(x)=()的根将f(x)的定义域分成若干区间，列表考查这若干个区间内『(X)的符号，进而确定f(x)的单调区间.跟踪训练三求卞列函数的单调区间：(l)f(x)=x2-lnx；(2)f(x)=^；(3)f(x)=sinx(l+cosx)(0Wx<27t)解(1)函数f(x)的定义域为(0,+8).f，(x)=2x_l=^x-l)(^x+l)XX因为x>0,所以迈x+l>0,由f'(x)>0得x>¥，所以函数f(x)的单调递增区间为俘，+-)；由f'(x)<0得x<¥，

8、又xe(0,+8),所以函数f(x)的单调递减区间为(o,(2)函数f(x)的定义域为(一I2)U(2,+8).f‘(x)=cx(x~2