导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)

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1、导数中的不等式恒成立问题适用学科数学适用年级高二年级适用区域全国课时时长（分钟）120知识点1导数公式2函数的单调性3函数中的不等式恒成立问题教学目标1理解和掌握导数在处理不等式恒成立问题是高考的一个难点。2能应用导数的方法来研究函数中的不等式问题，,来培养学生应用数学分析、解决实际函数的能力.3培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质教学重点导数的公式，函数的单调性，不等式问题教学难点导数研究函数中的不等式问题学习过程一、复习预习考纲要求：

2、1．理解导数和切线方程的概念。2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。5.灵活应用导数研究函数的单调性问题二、知识讲解1.导数的计算公式和运算法则几种常见函数的导数：(为常数)；()；；；；，；求导法则：法则．法则,法则：复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且或2.求直线斜率的方法（高中范围内三种）(1)（为倾斜角）；(2)，两点；(3)（在处的切线的斜率）；

3、3.求切线的方程的步骤：（三步走）（1）求函数的导函数；（2）（在处的切线的斜率）；（3）点斜式求切线方程；4.用导数求函数的单调性：（1）求函数的导函数；（2），求单调递增区间；（3），求单调递减区间；（4），是极值点。考点一函数的在区间上的最值【例题1】：求曲线在上的最值。【答案】：最大值为18，最小值为-2.【解析】:∵根据题意，∴,由函数的单调性，当，，取得极大值；当，，取得极小值；当，。所以最大值为18，最小值为-2.【例题2】:求曲线在上的最值范围。【答案】:【解析】:由，该函数在上单增，在上单减，当；；；。曲线在上的最值范围为。考点

4、二用导数研究函数的单调性【例题3】：已知函数在上是单调递增函数，求的取值范围。【答案】：【解析】：，因为在上单调递增，所以，，即：在上恒成立，即：，所以，所以，。【例题4】：设函数．求函数的单调区间；【答案】：若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减。【解析】：由，得，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，w.若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减。.考点三用导数证明不等式【例题5】：设函数，证明：当时，【答案】：如下【证明】：当时，当且仅当,令，则当时，在是增函数：当时，在是减函数，于是在处达到最小值，因而当时，，

5、即所以当时，【例题6】：设函数，证明：当＞0时，＞0；【答案】：如下【证明】：，（仅当时）故函数在单调递增，当时，，故当。K.考点四函数中含参数的问题【例题7】：设，其中为正实数，若为上的单调函数，求的取值范围【答案】：【解析】：对求导得①若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知，在R上恒成立，因此由此并结合，知【例题8】：已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是【答案】：【解析】：因为，即,所以。考点五导数的综合问题【例题9】：设，讨论函数的单调性．【答案】：如下【解析】：函数的定义域为，令，①当时，，令，解

6、得则当或时，当时，则在，上单调递增，在上单调递减②当时，，，则在上单调递增③当时，，令，解得∵，∴，则当时，当时，，则在上单调递增，在上单调递减【例题10】：设函数，（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．【答案】：的增区间为，减区间为【解析】：（1）因为，所以由于，所以的增区间为，减区间为（Ⅱ）证明：由题意得，，由（Ⅰ）知内单调递增，要使恒成立，只要，解得四、课堂练习【基础型】1若不等式x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围答案：解析：记F（x）=x4﹣4x3∵x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，∴F（x）在R

7、上的最小值大于2﹣a求导：F′（x）=4x3﹣12x2=4x2（x﹣3），当x∈（﹣∞，3）时，F′（x）＜0，故F（x）在（﹣∞，3）上是减函数；当x∈（3，+∞）时，F′（x）＞0，故F（x）在（3，+∞）上是增函数．∴当x=3时，函数F（x）有极小值，这个极小值即为函数F（x）在R上的最小值即[F（x）]min=F（3）=﹣27，因此当2﹣a＜﹣27，即a＞29时，等式x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，故答案为：（29，+∞）2若不等式2x－1>m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x的取值范围。答案：解析：原不等式化为(x2

8、－1)m－(2x－1)<0,记f(m)=(x2－1)m－(2x－1)(－2m2)根据题意有：，即：解之得x的取值范围为【巩固型】1若函数