2018_2019学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教案（含解析）

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1、1数系的扩充与复数的引入　　　数的概念的扩展已知方程：(1)x2－2x＋2＝0，(2)x2＋1＝0.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？在实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有．问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？提示：有解x＝i，但不是实数．1．复数的概念(1)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．(2)复数：把形如a＋bi的数叫作复数(a，b是实数，i是虚数单位)．复数通常表示为z＝a＋bi(a，

2、b∈R)．(3)复数的实部与虚部：对于复数z＝a＋bi，a与b分别叫作实部与虚部．(4)复数的分类：复数a＋bi(a，b∈R)2．复数集复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C.显然RC.复数的相等问题1：若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，则复数a＋bi和c＋di相等吗？提示：相等．问题2：若a＋bi＝c＋di，那么实数a，b，c，d有何关系？提示：a＝c，b＝d.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？提示：可以．

3、问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z(a，b)有何对应关系？提示：一一对应，一一对应．问题3：在平面直角坐标系中点Z(a，b)与向量＝(a，b)有何对应关系？提示：一一对应．问题4：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有何对应关系？提示：一一对应．1．复平面当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．2．复数的几何意义(1)任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．(2)一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内

4、的向量＝(a，b)是一一对应的．3．复数的模设复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离

5、OZ

6、叫作复数z的模或绝对值，记作

7、z

8、，显然，

9、z

10、＝.1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系．复数的基本概念[例1]　复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，求

11、当实数m为何值时：(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．[思路点拨]　分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．[精解详析]　(1)当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．(2)当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数．(3)当即m＝2时，z为纯虚数．[一点通]　复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z＝a＋bi

12、(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0.1．若(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是纯虚数，则实数m的值为(　　)A．－1　　　　　　　　　B．4C．－1或4D．不存在解析：选B　由条件知，∴∴m＝4.2．下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若复数x＋yi(x，y∈R)是实数，则x＝0，y＝0；③若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；④若两个复数实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数相等．其中，正确命题的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：

13、选B　对于①，若a＝－1时，(a＋1)i为实数；对于②，若x＋yi(x，y∈R)是实数，则y＝0；对于③，因为a＋i和b＋i是虚数，所以不能比较大小；由复数相等的条件可知④正确.复数的相等[例2]　(1)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，x，y∈R，求x与y；(2)设z1＝1＋sinθ－icosθ，z2＝＋(cosθ－2)i.若z1＝z2，求θ.[思路点拨]　先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．[精解详析]　(1)根据复数相等的充要条件，得方程组得(2)由已知，得解得则θ＝2kπ(k∈Z)．[一点通]　

14、复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问