2018_2019版高中数学第二讲讲明不等式的基本方法一比较法学案新人教A版选修

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1、一　比较法学习目标　1.理解比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法．知识点一　作差比较法思考　比差法的理论依据是什么？答案　a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0.梳理　作差比较法(1)作差比较法的理论依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定与0的大小关

2、系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．知识点二　作商比较法思考1　对于两个正数a，b，若＞1，能够判断a，b的大小吗？答案　能，根据不等式的性质知，对于正数a，b，＞1⇒a＞b.思考2　类比作差比较法，请谈谈作商比较法．答案　对于正数a，b，＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b.梳理　(1)作商比较法：若a＞0，b＞0，要证明a＞b，只要证明＞1；要证明b＞a，只要证明＜1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．(2)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b＞0，若＞1，则a＞

3、b；若＜1，则a＜b；②b＜0，若＞1，则a＜b；若＜1，则a＞b.(3)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定与1的大小关系；⑤得出结论.11类型一　作差比较法证明不等式例1　已知正数a，b，c成等比数列，求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.证明　因为正数a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，b＝，又(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c)＝2b(－)2≥0，所以

4、a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.反思与感悟　作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与0比较大小．跟踪训练1　已知a≥1，求证：－＜－.证明　∵(－)－(－)＝－＝＜0，∴－＜－.类型二　作商比较法证明不等式例2　已知a＞0，b＞0，求证：aabb≥.证明　因为aabb＞0，＞0，所以＝＝.当a＝b时，显然有＝1；当a＞b＞0时，＞1，＞0，所以由指数函数的单调性可知，＞1；11当b＞a＞0时，0＜＜1，＜0，所以由指数函数的单调性可知，＞1.综上可知，对任意实数a，

5、b，都有aabb≥.引申探究1．若a＞0，b＞0，求证：≥abba.证明　因为abba＞0，＞0，所以所以当a＝b时，显然有当a＞b＞0时，＞1，＜0，由指数函数的单调性，可得＜0＝1；当b＞a＞0时，0＜＜1，＞0，由指数函数的单调性，可得＜0＝1，综上可知，对任意a＞0，b＞0，都有abba≤.112．当a＞0，b＞0时，比较aabb与abba的大小．解　由例2和探究1知，aabb≥≥abba.反思与感悟　作商比较法证明不等式的一般步骤(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商．(2)变形：化简商式到

6、最简形式．(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1.(4)得出结论．跟踪训练2　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.证明　∵＝＋＝＋＝＝.又∵a2＋b2≥2ab，∴≥＝1，当且仅当a＝b＞0时取等号，∴＋≥＋.类型三　比较法的应用例3　证明：若a，b，m都是正数，并且a＜b，则＞(糖水不等式)．证明　－＝.∵a，b，m都是正数，且a＜b，∴b－a＞0，b(b＋m)＞0，∴＞0，即－＞0，∴＞.反思与感悟　比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛．跟踪训练3　甲、乙二人

7、同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？解　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，11t2，依题意有m＋n＝s，＋＝t2.∴t1＝，t2＝，∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2.从而知甲比乙先到达指定地点．1．已知不等式：①x2＋3＞2x(x∈R＋)；②a5＋b5＞a3b2＋a2b3(a

8、，b∈R＋)；③a2＋b2≥2(a－b－1)．其中正确的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案　C解析　①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，故①正确；②取a＝b＝1，则a5＋b5＝2，a3b2＋a2b3＝2，故②不正确；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故③正确．2.＜1成立的充要条件是(　　)A．a＞1B．a＜0C．a≠0D．a＞1或a＜0答案　D解析　＜1⇔－1＜0⇔＜0⇔a＜0或a＞