高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学业分层测评新人教b版

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1、2.2.2反证法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　)A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角【解析】　“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】　C2.下列命题错误的是(　　)A.三角形中至少有一个内角不小于60°B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D.设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数【

2、解析】　a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误.【答案】　D3.“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为(　　)A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数.所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数.【答案】　D4.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋

3、，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2【解析】　若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①4而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，②显然①，②矛盾，所以C正确.【答案】　C5.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝

4、B＝90°，正确顺序的序号为(　　)A.①②③B.①③②C.②③①D.③①②【解析】　根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.【答案】　D二、填空题6.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________.【导学号：37820027】【解析】　“至少有一个”的否定是“没有一个”.【答案】　任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7.用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是________.【

5、解析】　与的关系有三种情况：>，＝和<，所以“>”的反设应为“＝或<”.【答案】　＝或<8.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).【解析】　若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出.对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a

6、＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】　③4三、解答题9.已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.【证明】　假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.而与a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝2＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.10.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列.【证明】　假设，，成等差数列，则＋＝2，两边同时平方得a＋

7、c＋2＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾.所以，，不成等差数列.[能力提升]1.有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，

8、a

9、＋

10、b

11、<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设

12、x1

13、≥1.下列说法中正确的是(　　)A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错

14、误D.①的假设错误；②的假设正确【解析】　用反证法证题时一定要将对立面找准.在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的.【答案】　D2.已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sinA≠sinB”.若用反证法证明，得出的矛盾是(　　)A.与已知条件矛盾B.与三角形内角和定理矛盾C.与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D.与大边对大角定理矛盾4【解析】　证明过程如下：假设sinA＝sinB，因为0