选修4-4坐标系与全参数方程知识点及经典例题

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1、标准文档坐标系与参数方程*选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：　①理解坐标系的作用.　②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.第一讲一、

2、平面直角坐标系伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。实用文案标准文档方法1：求伸缩变换后的图形。由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。方法2：待定系数法求伸缩变换。求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:实用文案标准文档二、极坐标1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一

3、条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。2.点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.3.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。4.极坐标与直角坐标的互化：如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标

4、与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标(2)直角坐标化极坐标实用文案标准文档方法3：极坐标与直角坐标的互化例：（1）点M的极坐标是（2）点M的直角坐标是练：实用文案标准文档三、简单曲线的极坐标方程1.圆的极坐标方程：(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图　形圆心在极点(0，0)ρ＝r(0≤θ<2π)圆心在点(r，0)ρ＝2rcos_θ(－≤θ<)圆心在点(r，)ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r，π)ρ＝－2rcos_θ(≤θ<)圆心在点(r，)ρ＝－2rsin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C(ρ0，θ0)，半径为

5、r，M(ρ，θ)为圆上任意一点，则

6、CM

7、＝r，∠COM＝

8、θ－θ0

9、，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0即2.直线的极坐标方程：(1)特殊情形如下表：实用文案标准文档直线位置极坐标方程图　形过极点，倾斜角为α(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a，0)，且与极轴垂直ρcos_θ＝a过点，且与极轴平行ρsin_θ＝a(0<θ<π)过点(a，0)倾斜角为αρsin(α－θ)＝asinα(0<θ<π)(2)一般情形，设直线l过点P(ρ0，θ0)，倾斜角为α，M(ρ

10、，θ)为直线l上的动点，则在△OPM中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．方法4：直角坐标方程与极坐标方程的互化实用文案标准文档方法5：极坐标系下的运算方法6：曲线极坐标方程的求法四、柱坐标系与球坐标系简介（了解）1、柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点的位置可用有序数组(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐

11、标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R．实用文案标准文档(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为．2、球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记

12、OP

13、＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系

14、叫做球坐标系(或空间极坐