2019高考数学考点突破——基本初等函数：对数函数学案

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1、对数函数【考点梳理】1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．

2、对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4．反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．【考点突破】考点一、对数的运算【例1】计算：1＋lg2·lg5－lg2·lg50－log3

3、5·log259·lg5＝(　　)A．1B．0C．2D．4[答案]B5[解析]原式＝1＋lg2·lg5－lg2(1＋lg5)－··lg5＝1＋lg2·lg5－lg2－lg2·lg5－lg5＝1－(lg2＋lg5)＝1－lg10＝1－1＝0.【类题通法】解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.【对点训练】(lg2)2＋l

4、g2·lg50＋lg25＝________.[答案]2[解析]原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.考点二、对数函数的图象及应用【例2】(1)函数f(x)＝lg(

5、x

6、－1)的大致图象是(　　)(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2

7、x

8、－1)的定义域为(－∞，－1)

9、∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数f(x)单调递增，所以只有选项B正确．法二：函数f(x)＝lg(

10、x

11、－1)的图象可由函数y＝lgx的图象向右平移1个单位，然后再关于y轴对称得到．由y＝lgx的图象可知选B.(2)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)21时，如图，要使x∈(1，2)时f1(x)＝(x－1)2

12、的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，又即loga2≥1，所以1

13、x

14、(a＞0，且a≠1)的值域为{y

15、y≥1}，则函数y＝loga

16、x

17、的图象大致是(　　)A　　　　B　

18、　　　C　　　　D[答案]B[解析]若函数y＝a

19、x

20、(a＞0，且a≠1)的值域为{y

21、y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga

22、x

23、的大致图象如图所示．2．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．[答案](1，＋∞)[解析]如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．考点三、对数函数的性质及应用【例3】已知x＝lnπ，y＝log2，z

24、＝e，则x，y，z的大小关系为(　　)A．xlne，∴x>1.∵y＝log2＝，∴