2019高考数学考点突破——基本初等函数：指数函数学案

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1、指数函数【考点梳理】1．根式的性质(1)()n＝a.(2)当n为奇数时，＝a.(3)当n为偶数时，＝

2、a

3、＝(4)负数的偶次方根无意义．(5)零的任何次方根都等于零．2．有理指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质图象a＞10＜a＜

4、1定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数【考点突破】考点一、指数幂的运算【例1】化简下列各式：6(1)＋2－2·－(0.01)0.5；(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷.[解析](1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.(2)原式＝－b－3÷(4a·b－3)＝－b－3÷(a)＝－·＝－·＝－.【类题通法】1．指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序

5、．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【对点训练】1．求值：－0＋＋16－0.75＋＝________.[答案][解析]原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝－1＋＋＋＝.2．化简：(2·)(－6·)÷(－3·)＝________.[答案]4a[解析](2·)(－6·)÷(－3·)＝÷＝4a＋·b＋6＝4a1·b0＝4a.考点二、指数函数的图象及应用【例2】(1)函数f(x)＝2

6、x－1

7、的图象是(　　)(2)若函数f(x)＝

8、2x－2

9、－b有两个零点，则实数b的取值范围

10、是________.[答案](1)B(2)(0，2)[解析](1)由题意得f(x)＝结合图象知选B.(2)将函数f(x)＝

11、2x－2

12、－b的零点个数问题转化为函数y＝

13、2x－2

14、的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解.在同一平面直角坐标系中画出y＝

15、2x－2

16、与y＝b的图象，如图所示.∴当0

17、2x－2

18、－b有两个零点.∴b的取值范围是(0，2).【类题通法】指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有

19、关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.【对点训练】1．函数f(x)＝1－e

20、x

21、的图象大致是(　　)A　　　　B　　　　C　　　　D[答案]A6[解析]将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e

22、x

23、是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．2．若曲线y＝

24、2x－1

25、与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是．[答案](0，1)[解析]曲线y＝

26、2x－1

27、与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝

28、2x－1

29、与直

30、线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0，1).考点三、指数函数的性质及应用【例3】已知a＝，b＝，c＝，则(　　)A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b[答案]A[解析]a＝＝，b＝，c＝＝.∵y＝在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.【类题通法】比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．【对点训练】下列各式比较大小正确的是(　　)A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.

31、93.1[答案]B[解析]A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B.【例4】不等式x－3>16的解集为________．6[答案]{x

32、x<1}[解