数学奥林匹克冬令营测试题C

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1、2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C（陶平生供题）学校姓名营员证号一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，证明：∠AEB=∠CFD.二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与△ABC的两条边相切.求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.三、设实数a≥b≥c≥d＞0，求函数的最小值.四、n个白子与n个黑子（n≥3），依次不留间隙地排成一行：…………，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）.证明：经过n次这

2、样的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙.（附：当n=3时，操作如图所示）初始状态第一次操作后第二次操作后第三次操作后2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C解答（陶平生供题）一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，证明：∠AEB=∠CFD.证明：为叙述方便，将内切球O在面上的切点分别改记为，于是，，设球O的半径为,棱面，设垂足为，则，因为，则6，故，所以，即是说，棱关于两相邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似。在中，设，则于是，在中，设，因为，所以，于是在中，，设，则在中，，则+得，，据此及得，，所

3、以由、得，故式化为……由、得，，即，也即二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与△ABC的两条边相切.求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.证明：设及分别是四个圆的圆心，其半径分别为与，的内切圆半径为，显然，为的三条内角平分线，故相交于其内心.设（定值）.记，，对于，因为⊙O6与的切点在连心线上，点在的延长线上，则直线必与线段相交，其交点设为.同理可设，直线.只须证重合.直线截于，由梅尼劳斯定理，，即同理有,以及易知，所以，从而，故，所以，，因此共点，即交于一点.三、设实数a≥b≥c≥d＞0，求函数的最小

4、值.解：显然没有上界，这是由于，当时，，又注意是一个零次齐次函数，且当时，的值为以下证明，对于满足条件的任何正数均有，即要证……据条件，设6则式化为：……活化一个常量，改记1为，且设则皆为的四次多项式，而为的二次多项式.记为证式成立，即要证，于是只要证，，，.易知，..以上用到，，，以及..以上用到，..故.因此，函数的最小值是.6四、n个白子与n个黑子（n≥3），依次不留间隙地排成一行：…………，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）.证明：经过n次这样的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间

5、隙.（附：当n=3时，操作如图所示）初始状态第一次操作后第二次操作后第三次操作后证：当时，对归纳：时，初始状态为：第一次操作后：第二次操作后：第三次操作后：第四次操作后：为表达方便，用数字表示“将自左向右数的第枚棋子取出，跨过某些棋子向右平移至最先出现的空位上”这一操作；而数字表示“将自右向左数的第枚棋子取出，跨过某些棋子向左平移至最先出现的空位上”这一操作；于是，施于对棋子的操作步骤便可用一个元有序数组来表示.因此，，，，…….我们注意到，在中，都恰有一次操作“1”，即当全部操作完成后，棋子已黑白相间排列（以黑子开头），且整行向右移动了两子的位置.以下证明

6、，当时，个相连的白子和个相连的黑子排成一行，可经次移动两子的操作，使黑白相间（以黑子开头），且整行向右移动了两子的位置.对归纳：当时，结论已成立，今设结论对于n成立，考虑n+4对棋子的情形，如有对棋子黑白分段排列于一行（白子在前）：……为此，采用“杠中开花”的办法，我们设想，先把中间加方框的对（个）棋子收藏于一条“竖杠”中，成为四对棋子的一个排列：┃现对这四对棋子进行中的前两步操作：第一次操作后：│第二次操作后：┃经这两次操作后，中间（竖杠右侧）已出现两子空位，然后，对竖杠所代表6对加方框的棋子进行次操作，据归纳假设，可使黑白相间（加方框的棋子中，黑子在前，

7、且其前面有两子空位）：…这次操作算作的第次操作。再把加方框的对棋子收藏于一条竖杠中，又成为四对棋子的排列（竖杠左侧有两子空位）：┃，对图中的四对棋子进行的后两次操作，成为：││即得到黑白间隔排列（黑子在前，竖杠左侧的两子空位已被填充，整行无间隙.）现恢复竖杠所代表对加方框的棋子，于是，上述两次操作就成为的第次操作。且这对棋子已黑白相间（黑子在前，整行无间隙,且右移了两子空位）.…据归纳法，知所证结论成立。6