资源描述：
《2007年江苏省高中数学奥林匹克冬令营测试题(二)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2007年江苏省高中数学奥林匹克冬令营测试题（二）2006.12.13江苏省市中学年级姓名考生注意：本场考试时间3个小时，每题21分，满分共63分.题号一二三总分得分评分人一、已知实数x,y,z满足x+y+z=1，x,y,z≥0,当a满足什么条件时，函数xy+yz+zx-axyz在x=y=z=处达到极大值.解令f(x,y,z)=xy+yz+zx-axyz当z不动时，f(x,y,z)=xy（1–az）+z（y+x）…………3分（1）若1–az≥0,则f(x,y,z)≤（1–az）+z（y+x）=1-（a-2）z+（2a-3）z2-az3令g(z)=1
2、-（a-2）z+（2a-3）z2-az3…………6分对g(z)=1-（a-2）z+（2a-3）z2-az3求导得g(z)在处达到极大值所以a≥2,则必有。所以，从而a≤3.…………12分（2）若1–az<0,则z固定时，f(x,y,z)在x=0或y=0处取得极大值。此时f(x,y,z)=z(1-z)有极大值.这时有≤，即a≤…………18分又若f(x,y,z)在边界上有极大值，不妨设x=0.这时有边界极大值，所以也有a≤.综上可得：a≤…………21分3第3页共3页二、求关于x的方程2p+3p=xn,其中n为大于1的正整数，p为素数的所有正整数解.解：
3、若p=2，xn=13,此时无n>1的整数解…………3分若p≠2，p为奇数，则2p+3p≡2p+（-2）p≡2p(1p+(-1)p)≡0(mod5)……………6分若n>1,则52∣xn,所以有52∣2p+3p…………9分注意到27=128≡3(mod53)所以0≡2p+3p(mod52)≡2p+27p(mod52)≡2p（1+26p）(mod52)所以26p≡-1(mod52),212p≡1(mod52)…………15分212≡21≡4·5+1(mod52)212p≡(4·5+1)p≡4·5C1P+1P(mod52)≡4·P·5+1(mod52)所以上
4、式模25余1，当且仅当p=5.…………18分此时25+35=32+243=275=52·11≠xn(n>1)所以原方程无正整数解且p为素数.…………21分3第3页共3页三、求所有正整数组(a,b,c)，使得a3+b3+c3可以被a2b,b2c,c2a整除.解：由于条件知是三次齐次的形式，故可以设（a,b,c）=1如果有素数p，p∣a,p∣b由于p∣a3+b3+c3，故p∣c,不可能。…………3分由a2∣a3+b3+c3,b2∣a3+b3+c3,c2∣a3+b3+c3得a2b2c2∣a3+b3+c3.……6分令，n∈N+不妨设a≤b≤c由c2∣a3+
5、b3得，从而…………9分所以若a≥2,则n<,不可能故a=1.…………15分若b≥3,则c≥4(由于c>b),那么n,不可能有解等价于实际上，892=7201，144×48=6912。所以b=1或2…………18分当a=1,b=1时，c2∣13+13=2,故c=1,当a=1,b=2时，c2∣13+23=9,故c=3.所以原题所求的(a,b,c)为（k,k,k）及（k,2k,3k）的所有排列，k∈N+…………21分3第3页共3页
