高中数学竞赛专题讲座之数列

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1、嵊州二中袁利江个人资料珍藏高中数学竞赛专题讲座之数列一、选择题部分1.(2006年江苏)已知数列的通项公式,则的最大项是(B)2.(2006安徽初赛)正数列满足,则()A、98B、99C、100D、1013.(2006吉林预赛)对于一个有n项的数列P=(p1,p2,…,pn),P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、…sn、的算术平均值,其中sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n),若数列(p1,p2,…,p2006)的“蔡查罗和”为2007,那么数列(1,p1,p2,…,p2006)的“蔡查罗和”为(A)A.2007B.2008C.2006D.10044.(集训试题)已知数列{an}

2、满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn。则满足不等式

3、Sn-n-6

4、<的最小整数n是()A.5B.6C.7D.8解:由递推式得:3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}是以8为首项,公比为-的等比数列,∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)==6-6×(-)n,∴

5、Sn-n-6

6、=6×()n<,得:3n-1>250,∴满足条件的最小整数n=7,故选C。5.(集训试题)给定数列{xn},x1=1,且xn+1=,则=()A.1B.-1C.2+D.-2+解:xn+1=,令xn=tanαn,∴xn+1=tan(αn+),∴xn+

7、6=xn,x1=1,x2=2+,x3=-2-,x4=-1,x5=-2+,x6=2-,x7=1,……,∴有。故选A。6、(2006陕西赛区预赛)已知数列的前n项和分别为,记则数列{}的前10项和为(C)A.B.C.D.7.(2006年浙江省预赛)设为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如。记,,则=(A)20(B)4(C)42(D)145.(D)解:将记做,于是有从16开始,是周期为8的周期数列。故正确答案为D。二、填空题部分1.数列的各项为正数,其前n项和满足,则=______.5嵊州二中袁利江个人资料珍藏2.(2006天津)已知都是偶数,且,,若成等差数列,成等

8、比数列,则的值等于194.3.(2006吉林预赛)如图所示,在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1,3,6,10,…,记这个数列前n项和为S(n),则=___________。4.(2006年江苏)等比数列的首项为,公比.设表示这个数列的前项的积,则当12时,有最大值.5.在轴的正方向上,从左向右依次取点列,以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列,使()都是等边三角形,其中是坐标原点,则第2005个等边三角形的边长是2005。【解】:设第n个等边三角形的边长为。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为(,)。再从第n个等边三角形上,我们可得的纵坐标为。从而有,即有。由

9、此可得(1),以及(2)(1)-(2)即得.变形可得.由于,所以。在(1)式中取n=1,可得,而,故。因此第2005个等边三角形的边长为。6.(2005年浙江)已知数列,满足,且,则=。【解】:由,推出。因此有.即有。从而可得。7.(2005全国)记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列,则第2005个数是(    )A.B.C. D.解:用表示k位p进制数,将集合M中的每个数乘以,得中的最大数为5嵊州二中袁利江个人资料珍藏。在十进制数中,从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而将此数除以,便得M中的数故选C。8.(2004全国)已知数列满足关

10、系式,则的值是_________________________。解:设即故数列是公比为2的等比数列,。。9.(2005四川)设为整数,集合中的数由小到大组成数列:,则   131   。解:∵为整数且,∴最小取2,此时符合条件的数有,可在中取,符合条件有的数有同理,时,符合条件有的数有时,符合条件有的数有时,符合条件有的数有时,符合条件有的数有因此,是中的最小值,即三、解答题部分1.(2006天津)已知数列满足,,,其中是给定的实数,是正整数,试求的值,使得的值最小.【解】令,由题设,有,且………5分于是,即.∴.   (※) …………………10分又,,则.∴当的值最小时,应

11、有,,且.即,. ……………………15分5嵊州二中袁利江个人资料珍藏由(※)式,得由于,且,解得,∴当时,的值最小.  ……………………………………………20分2.(2006陕西赛区预赛)(20分)已知,设,记。(1)求的表达式;(2)定义正数数列。试求数列的通项公式。.3.(2006安徽初赛)已知数列满足,对于所有,有,求的通项公式.4.(2006吉林预赛)设{an}为一个实数数列,a1=t,an+1=4an(1-an)。求有多少个不同的实数t使得a2006=0。(22004+1)5.(2

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