高中数学竞赛专题讲座之六：立体几何

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1、竞赛试题选讲之六：立体几何一、选择题部分1.（2006吉林预赛）正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为（C）A.1B.2C.3D.大于32.（2006陕西赛区预赛）如图2，在正方体中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面AB均成角，则这样的直线l的条数为（B）A.1B.2C.3D.43．(集训试题)设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（）A．有最大值而无最小值B．有

2、最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值，两者不等D．是一个与面QPS无关的常数解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D。4．（2006年江苏）过空间一定点

3、的直线中，与长方体的12条棱所在直线成等角的直线共有（C）A．0条B．1条C．4条D．无数多条共5页　第5页5.（2006天津）已知为四面体的侧面内的一个动点，且点与顶点的距离等于点到底面的距离，那么在侧面内，动点的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是（D）A．圆或椭圆　B．椭圆或双曲线C．双曲线或抛物线D．抛物线或椭圆6．（2006年南昌市）四棱锥的底面是单位正方形(按反时针方向排列),侧棱垂直于底面,且＝,记,则＝（C）A．B．C．D．7．（2005年浙江）正方体的截平面不可能是：(1)钝角三角形(2)直角三角形(3)菱形(4)正五边形(5)正六边形；下

4、述选项正确的是（B）A．(1)(2)(5)B．(1)(2)(4)C．(2)(3)(4)D．(3)(4)(5)【解】正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。选【B】8．(2005全国)如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（）A．S为定值

5、，不为定值B．S不为定值，为定值C．S与均为定值D．S与均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值.当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。选B.9.（2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（C）A．200

6、6B．C．D．.共5页　第5页解：正2n边形，对角线共有条.计算与一边平行的对角线条数，因，与平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。因此正确选项是C.1,3,510．（2005四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有120条.解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条.原立方体的

7、每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部.1,3,51,3,5二、填空题部分1．（2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为,则的最大值为__.2．（2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于．3．（2006年上海）在△ABC中，已知，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC相交于点E，使得，且DE将△ABC的面积两等分，则．4．（2006年上海）在直三棱柱中，已知底面积为s平方米

8、，三个侧面面积分别为m平方米，n平方米，p平方米，则