高中数学竞赛专题讲座之六：立体几何.doc

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1、竞赛试卷选讲之六：立体几何一、选择题部分1.<2006吉林预赛）正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1作直线l，使l与直线AC和直线BC1所成的角均为60°，则这样的直线l的条数为设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的

2、延长线分别交于Q、R，则和式<）p1EanqFDPwA．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值，两者不等D．是一个与面QPS无关的常数解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα>·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：P

3、Q·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS>，即=常数。故选D。DXDiTa9E3d4．<2006年江苏）过空间一定点的直线中，与长方体的12条棱所在直线成等角的直线共有

4、按反时针方向排列>,侧棱垂直于底面,且＝,记,则＝钝角三角形(2>直角三角形(3>菱形(4>正五边形(5>正六边形；下述选项正确的是(2>(5>B．(1>(2>(4>C．(2>(3>(4>D．(3>(4>(5>xHAQX74J0X【解】正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形<证明略）；对四边形来讲，可以是梯形<等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩

5、形、但不可能是直角梯形<证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形<证明略）；对六边形来讲，可以是六边形<正六边形）。LDAYtRyKfE选【B】8．(2005全国>如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则<）Zzz6ZB2LtkA．S为定值，不为定值B．S不为定值，为定值C．S与均为定值D．S与均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条

6、边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个dvzfvkwMI1，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段<如图中），显然，故为定值.当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。选B.rqyn14ZNXI9.<2006浙江省）在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为

7、2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2>条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3>-n(n-2>=n(n-1>条。因此正确选项是C.EmxvxOtOco1,3,510．<2005四川）如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有120条.SixE2yXPq5解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条.原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连条

8、，6个面共120条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部.1,3,51,3,5二、填空题部分1．<2006年南昌市）棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为,则的最大值为__.2．<2006天津）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于．6