6.3数学归纳法

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1、6.3　数学归纳法第1课时　数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)．A．2B．3C．5D．62．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是(　　)．A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋43．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有(　　)．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n

2、0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)5．命题P(n)满足：若n＝k(k∈N*)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是(　

3、　)．A．P(6)成立则P(5)成立B．P(6)成立则P(4)成立C．P(4)成立则P(6)成立D．对所有正整数n，P(n)都成立6．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)．A.B.＋C.＋D.＋＋7．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.8．已知Sn＝＋＋＋…＋，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.9．用数学归纳法证明“当

4、n为正偶数时xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明　假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.11．用数学归纳法证明：＋

5、＋…＋＝＋＋…＋.12．(创新拓展)数列{an}满足Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前4项后猜想an，并用数学归纳法证明．1.解析　当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.2.解析　等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.故选D3.解析　由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成

6、立，依此类推，可知选C.4.解析：因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．故选B5.解析　由题意知，P(4)成立，则P(5)成立，若P(5)成立，则P(6)成立．所以P(4)成立，则P(6)成立．故选C6.解析　∵f(n)＝1＋＋＋…＋，f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案　D7.解析　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答

7、案　π8.解析　分别将1,2,3,4代入观察猜想Sn＝.答案　　　　　9.解析　因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．答案　2　x2k－y2k能被x＋y整除10.答案　缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立11.解析证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即＋＋…＋＝＋＋…＋.则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋.即当n＝

8、k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．12.解析证明　：当n＝1时，S1＝2－a1，∴a1＝1，n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝，n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝，n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝.∴猜想an＝.用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立，②假设n＝k时猜想成立，即ak＝成立．那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝2(k