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1、拉格朗日—柏松情况下的圆锥陀螺运动姓名：吴海城班级：99级3班，学号：99161050一、目的：1.演示高速自传的圆锥陀螺在重力场中的章动和进动。2.学习在matlab中实现刚体转动的一种方法。二、原理：陀螺运动的拉格朗日--柏松情况即研究对称陀螺在重力场中的运动。针对圆锥陀螺，设其质量为m，质心在动力对称轴上，距固定点距离为l,高为h,半径为R，质量密度为p。π2m=phR,zζ3h2πzR/hθ3l=p∫dz∫dθ∫zrdr/m=h。4000y欧勒角：以固定点为原点建立静止坐标系O-ξηζ,以固定点Oη为原点建立与刚体固连的动坐标
2、系O-xyz(如图)，确定刚体的位置等价于确定动坐标系的位置。φ章动角θ：ζ轴到z轴。ψ节线ON：Oxy面与Oξη面的交线。ξxN进动角φ：ξ轴到节线ON。θ角和φ角确定z轴的位置。ζ自传角ψ：节线ON到x轴。z此三个角完全确定了动坐标系的位置。θ运动微分方程：O-ξηζ系和z轴同上，取节线为x轴，（如图）y此坐标系只随陀螺旋进，不随陀螺自传。角速度投影：Oηω=θ&xφξx1ω=φ&sinθyω=φ&cosθ+ψ&z1222动能：T=(Iω+Iω+Iω)。xxyyzz2势能：V=mglcos(θ)。拉格朗日函数：12222L=[Iθ
3、&+Iφ&sinθ+I(φ&cosθ+ψ&)]−mglcosθ。xyz2h2πzR/h222π32π4I=I=dzdθ(z+rsinθ)rdr=hR+hR，xy∫∫∫520000h2πzR/h3π4I=dzdθrdr=hR。z∫∫∫10000由拉格朗日函数的运动微分方程：2θ&&=φ&sinθcosθ1(−a)−aφ&ψ&sinθ+bgsinθ，φ&&=θ&φ&ctgθ(a−)2+aθ&ψ&sinθ，ψ&&=θ&φ&[sinθ−ctgθcosθ(a−2)]−aθ&ψ&ctgθ。2a=II=，zx224hR+15phb=mlI=。x22
4、4h+Rz轴在Oξη面的投影比节线ON落后π/2，所以z轴在球坐标系中的角度的微分方程与θφ叫的微分方程相同。三、程序：[ode函数：tuoluofun.m]functionF=tuoluofun(t,u,flag,a,b,g)%functionF=tuoluofun(t,u,flag,a,b,g)F=[u(4);u(5);u(6);u(5)^2*sin(u(1))*cos(u(1))*(1-a)-a*u(5)*u(6)*sin(u(1))+b*g*sin(u(1));u(4)*u(5)*cot(u(1))*(a-2)+a*u(4)*
5、u(6)/sin(u(1));u(4)*u(5)*(sin(u(1))-cot(u(1))*cos(u(1))*(a-2))-a*u(4)*u(6)*cot(u(1))];%u(1)=θ，u(2)=φ，u(3)=ψ。2[主程序：tuoluo.m]clearall;R=1;h=2;p=1;l=sqrt(R^2+h^2);%R为圆锥半径，h为圆锥高，p为质量密度th_r=pi/6;ph_r=0;w_r=0;th_v=0;ph_v=0;w_v=50;%th_r、ph_r为z轴方向角初值，w_r为自转角角初值，%相应初速度th_vph_vw_
6、vn=4;%欲以底面为2n边的多边形的锥体作模型i=0:pi/n:pi*2;%模拟所需数据x0=R*cos(i);%x0、y0、z0为圆锥中轴与ξ轴重合，自转角为零时的数据y0=R*sin(i);length_s=length(x0)-1;z0=h*ones(1,length(x0));g=9.8;a=2/(4*(h/R)^2+1);b=5*p*h/(4*h^2+R^2);%作数值求解[t,u]=ode45('tuoluofun',[0:0.01:10],[th_rph_rw_rth_vph_vw_v],[],a,b,g);u(:,7
7、)=u(:,5).^2.*sin(u(:,1)).*cos(u(:,1)).*(1-a)-...%求各角加速度a.*u(:,5).*u(:,6).*sin(u(:,1))+b.*g.*sin(u(:,1));u(:,8)=u(:,4).*u(:,5).*cot(u(:,1)).*(a-2)+a.*u(:,4).*u(:,6)./sin(u(:,1));u(:,9)=u(:,4).*u(:,5).*(sin(u(:,1))-cot(u(:,1)).*cos(u(:,1)).*(a-2))-...a.*u(:,4).*u(:,6).*co
8、t(u(:,1));text_s={'章动角-t','进动角-t','自转角-t',...%画各角与时间关系图%画个角与时间关系图'章动角速度-t','近动角速度-t','自传角速度-t',...'章动角加速度-t','
