概率解题典型错误类型根源分析

《概率解题典型错误类型根源分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、概率解题典型错误类型及根源分析高屮数学新教材第二册（下）屮增加了概率的内容。笔者结合多年的教学经验试图就学生易犯错谋类型作些总结，仅供参考。类型一：“非等可能”与“等可能”混同例1：掷两枚骰子，求事件A为出现的点数之和等于3的概率。错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2,3,4,……，12},有利于事件A的结果只有3,故=分析：公式P（A）=有利于事件A的基本事件数基本事件的总数仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这样情况（1,1）才出，而3有两种情况（1,2）,（2,1）可出现，其它的情况可类推。正解：

2、掷两枚骰子可能出现的结果：（1,1）,（1,2）,…，（1,6）,（2,1),(2,2),…，(2,6),…，(6,1),(6,2),…，(6,6),基本事件总数为6X6=36o在这些结果中，事件A含有两种结果（1,2）,（2,DoP（A）=—=—o3618类型二“有序”与“无序”混同.例2：从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种以法,笫四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10X9X8X7种取法,冇10X9X8X7个基本事件

3、。设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含冇C；xC；种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件）,P(A)=10x9x8x7148分析：计算所含基本事件的个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含的基本事件个数吋是用组合的方法，即没冇考虑抽取的顺序。正解：(1)都用排列方法总共含有个基木事件，A包含个基木事件(4件屮要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有勺种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有£种取法)P(A)(2)都用组合方法一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽

4、取4件，总共含冇G：)个基本事件，A包含有C；・C；个基木事件。C：•C；1P(A)=37=_皤2类型三「互斥”与“独立”混同例3：甲投篮命屮率为0.8,乙投篮命屮率为0.7,每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解：设“甲恰好投中两次”为事件A,“乙恰好投中两次”为事件B,则两人都恰好投屮两次为A+B。.•・P(A+B)=P(A)+P(B)=CjO.*x0.2+07x0.3«0.825.分析：本题错解的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑。将两人都恰好投中2次理解为含有“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”两种情况。正解：设“

5、甲恰好投屮两次”为事件A,“乙恰好投中”为事件B,则两人都恰好投中两次为事件AB,贝P(AB)=P(A)xP(B)=C；0.*x0.2xC；0.72x0.3"169.例4：某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第2声时被接的概率为0.3,响第3声时被接的概率为0.4,响第4声时被接的概率为0.1,那么电话在响前4声内被接的概率是多少：错解：设电话响第1声时，被接的概率为：P(A】)=0.1电话响第2声时被接的概率为：P(A2)=0.3,屯话响第3声时被接的概率为：P(A3)=0.4,电话响第4声吋被接的概率为：P(A4)

6、=0.1,所以电话在响前4声内被接的概率是：P=P(A1).P(A2).P(A3).P(A4)=0」x0.3x0.4x0.1=0.0012.分析：本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑。根据实际生活的经验电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥。正解：P=P(A,)+P(A2)+P(A3)+P(A4)二0」+0.3+0.4+0」二0.9.点评：以上两例错误的原因都在于把两事件互斥与两事件相互独立混同。两事件A,B互斥与A,B相互独立，这两个概念有何关系？A,B互斥，是B的出现必然导致A的不出现；或A的出现必须导致B的不出现。从

7、而B出现的概率与另一事件A是否出现密切相关。那种认为“两事件相互独立必定互斥”的认识是错误的。因为在P(A)>0,P(B)>0的条件下，若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)•P(B)>0；而若A,B互斥，则P(AB)=O,两个概念出现矛盾,这就说明在P(A)>0,P(B)>0的情况下，相互独立不能互斥。因此，在一般情况下，互斥与相互独立是两个互不等价，完全不同的概念。类型四：“互斥”与“对立”混同例5：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()（A）至少有1个白球，都是白球（B）至少有1个白球，至少有1个红球（

8、C）恰有1个白球，恰有2个白球（D）至少有1个白球，都是红球错误答案（D）。分析木题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同