机械振动2-1简谐振动

《机械振动2-1简谐振动》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章单自由度系统的自由振动§2.1简谐振动§2.3瑞利法§2.2能量法§2.4等效刚度系数§2.5有阻尼系统的自由振动自由振动—受初始扰动激发所致振动，没有外界能量补充。无阻尼自由振动—保守系统，机械能守恒，动能与势能互相转换，恒稳振动，实际上不存在，但可作为某些振动的近似处理。（有）阻尼自由振动—非保守系统，衰减，本章讨论单自由度的自由振动。§2.1线性系统的自由振动我们看一个简单的振动模型xxF＝＋kx0弹簧质量系统在光滑平面上的振动。其中k——刚性系数（产生单位位移所需的力）。加负号是因为：弹性恢复力永远与位移x方向相反。（始终指向静平衡位置）弹簧

2、质量不计；质体m当作刚体（或一个质点）；并假设弹簧的恢复力与变形成正比，即：F＝－kx〔注：k的单位N/m〕或写成：其中常数C1，C2由初始条件确定。这里令上式即一个自由度（线性）系统自由振动微分方程。这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：由牛顿第二定律：设：当t＝0时∴〔注：这正是圆频率相同的两个简谐振动，一个用正弦、一个为余弦的合成情况，也是一个简谐振动。〕把初始条件代入上式，可得其中讨论：1、单自由度系统的自由振动是个简谐振动，其振幅A和初相位φ由初始条件决定。从这里可以看到自由振动最初发生的原因，必须有初位移x0或初速度v0或两者都有才有振动x

3、＝Asin(ωnt＋φ)，否则x＝0，——无振动（弧度/秒）2、自由振动的圆频率（或角频率）频率取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有的，与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振动无关）故把ωn称为固有频率。一座建筑物，一台机器，一架飞机等等，一旦制造出来，其m，k就都是确定的了，于是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念，在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。固有频率的求法：a、b、其中——静伸长（cm）g——重力加速度（cm/s2）Pδck固有（自然）频率及周期为在工程实际中，一些比较简单的振动系统可以抽象为上述单自由

4、度质量-弹簧系统，而具有相同的动力学方程和运动规律，书上有些具体例子。例2.1-1均匀悬臂梁长l，弯曲刚度EJ，重量不计，自由端附有重P=mg的物体，求物体的振动方程、频率.lmy解：由材料力学知：悬臂梁的作用等价于悬挂弹簧，设其刚度系数k，有物体的振动方程：固有频率：对无阻尼自由振动的问题。由于没有阻尼，系统就没有能量损失，根据机械能守恒定律，在整个振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即：2.2能量法U——系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作功而产生的重力势能。将具体能量代入（2）式，化简后可得保守系统的振动微分方程。（1）式对时间求导：（1）其中T

5、——系统中运动质量所具有的动能（2）我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时势能为零，而动能达到最大值Tmax；Tmax＝Umax(2)对较复杂系统，用能量法建立微分方程和求固有频率，有时更为方便。当质点离开平衡位置到最远点时，速度减为零，即动能为零，但势能达到最大值Umax，我们取之为第二瞬时位置。由（1）式得：Tmax＋0＝0＋Umax，即：例2.2-1一半径r重W的圆柱体在一个半径为R的圆柱面内作无滑动滚动。假设在圆柱面最低处O左右微幅摆动为简谐振动，求摆动固有频率。转动时，圆柱体绕质心轴转动，由于无滑动，角速度为：〔注：）解：设θ为坐标，圆柱体同时作

6、两种运动——移动和转动。移动时，圆柱体质心线位移为0θ0′φrR(R-r)线速度为任一瞬时位置，圆柱体动能为：由〔注：为圆柱体绕质心的转动惯量〕圆柱体的势能以最低位置O为零，在转角为θ的瞬时，圆柱体质心升高为(R－r)(1-cosθ),则U＝w(R-r)(1-cosθ)得：对于任一瞬时若，则对应无摆动，不是我们所求的。于是必有括号内部分为零，又因微摆动，sinθ≈θ，故有解（2）若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率ωn，则设在最低点O处势能为零，动能最大则在摆动到θmax位置时动能为零，势能最大由Tmax＝Umax有：于是则例2.2-2杆AB是无质量刚

7、性杆，静平衡时水平，又知k0及尺寸a，l，质量块m，求振动微分方程及周期。解法：设刚性杆，向下有微小转角φ时，弹簧伸长aφ,质量块的位移：lφ系统的动能：系统的势能：由mBk0alφ质量块的速度：得2.3瑞利法前面都假设弹簧的质量可以忽略不计，若弹簧质量较大，忽略它会导致频率偏高。瑞利提出，用能量法对分布质量系统简化为一个单自由度系统，从而把弹簧分布质量对系统频率的影响考虑进去，得到相对准确的频率。具体做法是先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式，然后将无阻尼自由振动的简谐规律代入，计算其动能和势能，利用能量法，即得到等效质量和固有频率，这种近似计算方

8、法称作瑞利法。计算弹簧的等效质量设弹簧的长度为l，假定弹簧的变形与