第二章 参数多项式与样条曲线

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1、参数多项式插值与逼近参数多项式插值与逼近参数样条曲线参数样条曲线参数多项式插值与逼近参数多项式插值与逼近基本概念
插值与逼近
多项式基
数据点的参数化多项式插值曲线最小二乘逼近Ferguson参数三次曲线多项式基（1）n基表示p(u)=∑aiϕi(u)i=0ϕ(u)：基函数，决定曲线的整体性质iai：系数矢量采用多项式函数作为基函数即多项式基，相应得到参数多项式曲线曲面。多项式形式简单，当选定一组多项式基函数后，通过改变作为基函数的多项式的次数及基表示中定义形状的系数矢量，可获得丰富的形状表达力；又多项式无穷次可微，因而曲

2、线曲面足够光滑；且容易计算函数值及各阶导数值。多项式基（2）n次多项式的全体构成n次多项式空间。n次多项式空间中任一组n+1个线性无关的多项式都可以作为一组基，因此就有无穷多组基。不同基之间仅仅相差一个线性变换。j幂基u(j=,1,0L,n)是最简单的多项式基。相应的参数多项式曲线的方程为njp(u)=∑ajuj=0数据点的参数化（1）过三点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可以有无数条，这是因为对应的参数t,在[0,1]区间中有无数种取法。即P0、P1和P2可对应不同的参数值，比如：11t0=,0t1=,t2=,

3、1或t0=,0t1=,t2=,123其中每个参数值称为节点(knot)。数据点的参数化（2）对于给的的n+1个数据点P0,P1,L,Pn，赋予相应的参数值ti，使其形成一个严格递增的序列Δt：t0

4、数化)节点在参数轴上呈等距分布，ti+1=ti+正常数为处理方便起见，常取成整数序列t=i,i=,1,0L,ni这种参数化法仅适合于数据点多边形各边（或称弦长）接近相等的情况。否则，在相邻段弦长相差悬殊的情况下，生成插值曲线后弦长较长的那段曲线显得较扁平，弦长较短的那段曲线则膨得厉害，甚至出现尖点或打圈自交的情况。数据点的参数化（4）
积累弦长参数化（简称弦长参数化）t0=0∆P=P−Pt=t+∆P,i=,2,1⋅⋅⋅,nii+1iii−1i−1这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长分布

5、不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的问题。被认为是最佳的参数化方法。数据点的参数化（5）
向心参数化法t=001t=t+∆P2,i=,2,1⋅⋅⋅,nii−1i−1向心参数化法假设在一段曲线弧上的向心力与曲线切矢从该弧段始端至末端的转角成正比，加上一些简化假设，得到向心参数化法。此法尤其适用于非均匀型值点分布。数据点的参数化（6）
修正弦长参数化法t=00t=t+K∆P,i=,2,1⋅⋅⋅,nii−1ii−13∆Pi−2θi−1∆PiθiK=1++i2∆P+∆P∆P+∆Pi−2i−1i−1iπθi

6、=minπ−∠Pi−1PiPi+1,,∆P−1=∆Pn=02弦长修正系数Ki>=1。从公式可知，与前后邻弦长及相比，若越小，且与前后邻弦边夹角的外角θi-1和θi(不超过时)越大，则修正系数就Ki就越大。数据点的参数化（7）参数区间的规范化我们通常将参数区间[tt]规范化为[0,1]，,0n只需对参数化区间作如下处理：tit=,0t=,i=,1,0⋅⋅⋅,n0itnFerguson参数三次曲线323232'32'Pt()=(2t−3t+1)P+−(2t+3)tP+(t−2t+tP)+(t−tP)t∈[0,1]010

7、13232F(t)=2t−3t+1F(t)=−2t+3t01
令：3232G0(t)=t−2t+tG1(t)=t−t可将其简化为：''P(t)=FP+FP+GP+GPt∈]1,0[00110011上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，几何系数是P0、P1、P′0和P′1。F0,F1,G0,G1称为调和函数（或混合函数）参数样条曲线组合(composite)(composite)曲线(composite)曲线:::以分段(piecewise)(piecewise)方式定义的曲线(piecewise)方式定义

8、的曲线1分段三次Hermite插值C参数三次样条曲线1C分段三次Hermite插值P()t=Ft()P+Ft()P+Gt()P′+Gt()P′t∈]1,0[00110011给定Pi,P&i(i=,1,0L,n)，并对数据点实行了参数化，决定了参数分割Δt：t0