根系关系,二次函数

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1、一元二次方程根与系数的关系在二次函数综合题中的运用1已知抛物线y1=过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。（1）使用a、c表示b;（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C(),求当x≥1时y1的取值范围。2如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（

2、2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．3已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．4如图所示，已知直线与

3、轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，点是抛物线与轴的另一个交点，当时，取最大值.（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点是直线上一点，且ABP：BPC，求点的坐标；（3）若直线与（1）中所求的抛物线交于、两点，问:①是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；②猜想当时，的取值范围（不写过程，直接写结论）.（参考公式：在平面直角坐标系中，若，，则，两点间的距离为）1解析：（1）∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），把点代入函数即可得到：b=﹣a﹣

4、c；（2）B在第四象限．理由如下：∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），∴，所以抛物线与x轴有两个交点，又因为抛物线不经过第三象限，所以a＞0，且顶点在第四象限；（3）∵，且在抛物线上，∴b+8=0，∴b=﹣8，∵a+c=﹣b，∴a+c=8，把B、C两点代入直线解析式易得：c﹣a=4，即解得：，如图所示，C在A的右侧，∴当x≥1时，．2解析：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）

5、证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2

6、x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，∴+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．3解析：（1）当k=1，m=0时，如图．由得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=

7、x2﹣x1

8、==；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2

9、+m﹣1=0，∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，∴AB=AC=

10、x2﹣x1

11、==（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，由，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，∴AB=AC=

12、x2﹣x1

13、==，∴AB2=10，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x1

14、2+x22+（x1+1）2+（x2+1）2[来源:学科网ZXXK]=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2[来源:学科网ZXXK]=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．由，得x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1•x2=﹣1，∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2=（1+k2）（x1﹣x2）2