幻方问题探究

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1、幻方问题探究桂林师范专科学校数学与计算机科学系刘锡萍］［摘要］:本文探究了幻方的起源和各种构造方法，并论述了幻方的更完美对称性和一些不同形式的数阵及其简单应用。［关键词］:河图，洛书，幻方，幻和，数阵。幻方的起源幻方是一种古老的流行的数学游戏。n阶幻方就是把整数1,2,3,…，『排列成n*n阵列，使得每行中的各数之和，每列小的各数Z和以及两条主对角线小的各数Z和都是同一个数Sn。数5称为n阶幻方的幻和。图1是几个幻方的例子：在n阶幻方中所冇整数Z和是1+2+3+……°n阶幻方的幻和2&二⑷+1）,具体地说，3阶幻方的幻和S3二15,4阶幻方的幻和S产34,

2、5阶幻方的幻和2SK5,o幻方起源于何时何地？我国《易•系辞》中有这样的表述：“河出图，洛出书，圣人则（仿效）Z。”（如图2）。相传，在远古时代，大禹带领百姓治理好波涛汹涌的水患Z后,冇一匹龙马从河中跃出，它背上的毛旋自然的组成一组花纹，叫做“河图”，在洛水边冇一只神龟，龟背上有一些奇妙的斑点，称为“洛书”。（如图3）河图、洛书被认为是上犬用來启示人类智慧的天机所在，包含许多治理国家的人道理，并被作为辟邪的吉祥物。传说孔子就因为当时时风口下，没冇圣人Z治，而感叹“河不出图”。（如图4）河图是有1到10这十个数两两成对分列四方及中央组成，它的构成符合《易•系

3、辞》中的数观念：“天数五，地数五，五位相得而各有合，天数二十有五，地数三十，凡犬地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。”洛书，也称九宫，是由整数1到9这九个数的排列，它的特点是，不论沿正方位（各行）还是沿对角线，每三个数得和都是15,这正是一个三阶幻方。河图洛书虽无一字，但它体现了和谐、均衡的结构，蕴涵着数理关系。我国南宋数学家杨辉将幻方称为纵横图。他于1275年在《续古摘奇算经》一书中写道：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进，戴九履一，左三右七，二四为片，六八为足清楚地表述了三阶幻方的构造方法。充分证明他对幻方有了深入研究。（如图5）实际上，杨辉

4、的斜排法是--种适合于制作奇数阶幻方的一般方法，利用这一方法可以构造出任意奇数阶幻方。在国外，也有关于幻方的记载。欧洲中世纪，幻方的奇异性质也被认为幻方有不可思议的神奇魔力，同样被用來作为护身符，以保护佩戴者免遭祸害。较早地记载在A•丢勒（AlbrechtDurer,1471-1528年）的版画《忧郁》（Melancholia）有一个四阶幻方。（如图6）这个四阶幻方最后一行中间的两个数代表1514年，丢勒的这幅版画正是作于这一年。可以认为欧洲人开始研究幻方的吋间大约是在15世纪前期。当时还有一个人阿格利帕（Agrippa）作出了3至9阶幻方。因此可以认为，

5、幻方起源于我国古代的洛书。幻方的构造方法幻方因具有神奇的均衡结构，看似很难构造。实际上，幻方的种类是很多的，如果不计算那些通过旋转或者反射而得到的幻方种类，不同的四阶幻方共有880种，不同的五阶幻方冇275305224种，人们对幻方的一般构造方法进行了探究。这里给出幻方的构造方法。一、奇数阶幻方的构造方法1,斜排法斜排法就是杨辉方法的推广。下而以构造五阶幻方为例对斜排法进行介绍：首先将1,2,3,……25斜排，如图7-a,之后“上下对易”平移,将],6,2平移到幻方的下部，将25,24,20平移到幻方上部；再“左右相更”，将21,26,2平移到幻方的右边，

6、将5,4,10平移到幻方的左边，如图7-b,最后形成一个五阶幻方，如图7-c。这种排斜法冇这样的特征，就是冇一条主对角线上的几个数是整个数集中正中间的几个连续数,/72+]正中间的小方格中的数对五阶幻方来说是13,对一般的n是奇数的n阶幻方来说是o2仿此可构造出7,9,……阶幻方。如图8和图9,构造的分别是一个7阶幻方和一个9阶幻方。2,劳伯尔（DelaLoubere）构造法。首先把1放在顶行正中间的方格上，然后把后？的整数按自然顺序放置在右斜上的对角线上并做如下调整：当到达顶行（非右端）时，下一个数右移一格放在底行，好象它在顶行的上面；当到达右端列（非上

7、端）时，下一个数上移一格放在左端列，好象它在紧靠右端列的右方；当到达的方格已经填上数或到达右上角的方格时，下一个数放在刚填写的方格的正下方的方格中。如图10,给出了按照此法构造的一个5阶幻方和一个7阶幻方。仿此可作出任何奇数阶幻方。它的特点仍是正中间方格所填的数是整个数集中大小居正中间的那一个数一，冇一条主对角线上是中间的儿个连续整数。22,麦哲里克（BachetdeMeziriac）构造法这种构造方法与劳伯尔构造方法相似。填数的方法遵从劳伯尔构造方法的対角线法则。不同的是，数1放在正中央方格的正上方一格中，按对角线右斜上，遇到被占据的情况时上升两格重新进

8、行，在右上角的方格填数示，下一个数填在右端列从下往上数的第二格。图