正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

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1、[读教材·填要点]1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．非零常数T每一个f(x＋T)＝f(x)非零常数T最小的正数2．正、余弦函数的周期正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)都是周期函数，最小正周期为,2kπ(k∈Z且k≠0)是它们的周期．3．正、余弦函数的奇偶性正弦函数y＝sinx(x∈R)是函数，图像关于中心对称；余弦函数y＝cosx(x∈R)是函数，图像关于对称．原点(0,

2、0)2π奇偶y轴[小问题·大思维]1．如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)是不是f(x)的周期？提示：不一定，当n≠0时，nT是f(x)的周期，当n＝0时，nT不是f(x)的周期．2．是不是所有的周期函数都有最小正周期？提示：并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．提示：不能．周期必须是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)．[研一题]由图像知，y＝

3、sinx

4、的周期为π.本例(2)中若变为“y＝sin

5、x

6、”，它是周期函数吗？解：作出y＝sin

7、x

8、的图像

9、知它不是周期函数．[悟一法][通一类]答案：±2[研一题][自主解答](1)函数的定义域为R，关于原点对称．f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx.f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)．∴f(x)为偶函数．[悟一法]判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f(x)与f(－x)之间关系时的作用．[通一类]答案：A[研一题][答案]D[悟一法]解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．[通一类]已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，试求φ为何值时：(1)

10、f(x)是奇函数？(2)f(x)是偶函数？[巧思]判断一个函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个．(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；