[精品]含内隐性约束双变量问题的求解策略

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1、含内隐性约束双变量问题的求解策略含内隐性约束双变量问题的求解策略所谓内隐性约束双变量，即相互间具有一定的约束条件，但该约束条件又很难清晰刻画它们间的显性关系的两个变量•近年来在导数综合应用中涉及内隐性约束双变量的问题出现的频率比较高的•通常情况下，求解内隐性约束双变量问题的基本思想是：借助约束条件通过恒等代换将双变量问题转化为单变量问题.一、借助约束条件合理消元转化为单元函数问题市于内隐性约束的双变量具有一定的约束条件，因此自然想到的是：能否借助约束条件通过消元的手段转化为单变量函数？而事实上这种转化策略对于解决此类问题的确非常有效.例1设函数f(X)=lnx+ax-l在(0,le

2、)内有极值点a.若x_l£(0,1),x₂E(1,+°°),求证：f(x₂)-f(xl)>e+2~le.注：e是自然对数的底数.解：0l时，f‘(x)=lx~a(x~l)2=(x-1)2-axx(x~l)2=x2-(a+2)x+lx(x~l)2.由于f(x)在(0,le)内具有极值点a,若令g(x)=x2-(a+2)x+1,则方程g(x)=0在(0,le)上有解a.考虑到g(x)=0的另一解3=1ae(e,+°°),从而g(x)=x2-(a+2)x+1二(x-a)(x-B),且0<

3、ae.[tlf'(x)>00B；f'(x)<0al(0,1),得f(x〈sub>l〈/sub>)Wf(a)=lna+aa-1,由x₂e(1,+8)得f(x₂)2f(B)=lnP+a13-1,所以f(x₂)-f(x〈sub>l〈/sub〉)2f(B)-f(a),则求证f(x〈sub〉2〈/sub>)-f(x〈sub>l〈/sub>)〉e+2-le,只需证明

4、f(a)_f(B)>e+2-le.考虑到a・B二1,a+B=a+2,而f(0)-f(a)=lnB-lnlB+a(IB-1-1a-1)=21n(3+a■a—B(3-1)(a-1)=21nP+a・1/0一B2-(a+2)二21nB+BTB,B>e.令h(x)=21nx+xTx(B>e),则h‘(x)=2x+l+lx2>0,h(x)在(e,+°°)上单调递增，所以f(x₂)-f(x_l)2h(B)>h(e)二2+eT/e,证毕.本题问题的实质即求证f(Q)-f(B)>e+2Te.考虑到Q,B是二次方程g(x)二x2-(a+2)x+1的两根(也即具

5、有内隐性双变量)，因此我们借助韦达定理Q・B二1,Q+B二a+2将双变量表达式f(a)-f(B)转化为了关于B的单变量问题.二、借助齐次化策略合理代换转化为单元函数问题将多变量问题转化为单变量问题我们还常用一种策略一一齐次化，如x2+xy2x2+y2+3xy,当xHO吋可将上式转化为1+y/x2+(y/x)2+3(y/x),则问题转化为关于yx的单元函数问题•在处理双隐性变量问题吋我们也常借助约束条件实现表达式的齐次化，并最终将问题转化为单变量问题.f(x)=lnx+x22-(a+2)x恰有一个极小值m和极大值M,求m-M的最大值•其屮e为自然对数的的底数.解：由于f‘(x)二lx

6、+x-(a+2)=x2-(a+2)x+lx,x>0,且f(x)恰有一个极大值点x_l和极小值点x₂,从而正数x_l,x₂是x2-(a+2)x+1二0的两个相异实根，即方程a+2二x+l/x,x>0有两个相异正根，从而由于当0l吋，f'(x)>0,当x_l2时，ff(x)<0,当x>x₂时，ff(x)>0,因此f(x)在(0,x_l)上单调递增，在(x_l,x<

7、sub>2)上单调递减，在(x₂,+°°)上单调递增，从而f(x)的极大值为M二f(x_l),极小值为m=f(x₂),且x_l+x₂=a.+2,x_lx₂=l.又x_l+x₂x_lx₂=x₂x_l<