第五章 线性拟合方法

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1、第五章实验数据及模型参数拟合方法第五章实验数据及模型参数拟合方法第一节问题的提出第一节问题的提出在化工设计及化工模拟计算中，需要大量的物性参数及各种设备参数。这些参数有些可以通过计算得到，但大量的参数还是要通过实验测量得到。实验测量得到的常常是一组离散数据序列（xi,yi）。如果数据序列（xi,yi）(为一般起见),i=1,2,…,m,含有不可避免的误差（或称“噪声”，如图5-1所示），或者无法同时满足某特定的函数（如图5-2所示）,那么，只能要求所作逼近函数ψ（x）最优地靠近样点，即向量Q=（ψ(x1),ψ(x2),…,ψ(x

2、m)）T与Y=(y1,y2,…,ym)T的误差或距离最小。按Q与Y之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。第一节问题的提出图5-1含有噪声的数据图5-2无法同时满足某特定函数的数据序列第一节问题的提出除了物性数据及设备参数需要利用数据拟合外，在化学化工中，许多模型也要利用数据拟合技术，求出最佳的模型和模型参数。如在某一反应工程实验中，我们测得了如表5-1所示的实验数据。现在要确定在其他条件不变的情况下，转化率y和温度T的具体关系，现拟用两种模型去拟合实验数据，两种模型分别是第一节问题的提出如何求取上述模型中

3、的参数，并判断两种模型的优劣,是化学化工工作者经常要碰到的问题，这个问题的求解将在本章下面的有关章节中进行详细的讲解。第二节拟合的标准第二节拟合的标准前面已经提到按Q与Y之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数，而向量Q与Y之间的误差或距离有各种不同的定义方法，一般有以下几种。（1）用各点误差绝对值的和表示（2）用各点误差按绝对值的最大值表示（3）用各点误差的平方和表示式中R称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原则容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。同时还有许多种其他

4、的方法构造拟合曲线，感兴趣的读者可参阅有关教材。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线。第二节拟合的标准第二节拟合的标准__实例1实验测得二甲醇（DME）的饱和蒸气压和温度的关系，见表5-2。序号温度℃蒸气压MPa1-23.70.1012-100.174300.2544100.3595200.4956300.6627400.880表5-2DME饱和蒸气压和温度的关系由表5-2的数据观测可得，DME的饱和蒸气压和温度有正相关关系，如果以函数p=a+bt来拟合,则拟合函数是一条直线。通过计算均方误差Q(a,b)最小值而确定直线方程。（

5、见图5-3）图5-3DME饱和蒸汽压和温度之间的线性拟合第二节拟合的标准__实例1拟合得到直线方程为：相关系数R为0.97296，平均绝对偏差SD为0.0707。拟合的标准——实例2如果采用二次拟合，通过计算下述均方误差拟合得二次方程为相关系数R为0.99972，平均绝对偏差SD为0.00815,具体拟合曲线见图5-4。图5-4DME饱和蒸气压和温度之间的二次拟合拟合的标准实例2比较图5-3和图5-4以及各自的相关系数和平均绝对偏差可知：对于DME饱和蒸汽压和温度之间的关系，在实验温度范围内用二次拟合曲线优于线性拟合。二次拟合曲

6、线具有局限性，由图5-4观察可知，当温度低于-30℃时，饱和压力有升高的趋势，但在拟合的温度范围内，二次拟合的平均绝对偏差又小于一次拟合，故对物性数据进行拟合时，不仅要看在拟合条件下的拟合效果，还必须根据物性的具体性质，判断在拟合条件之外的物性变化趋势，以便使拟合公式在已做实验点数据之外应用。第三节单变量拟合和多变量拟合给定一组数据（xi,yi）,i=1,2,…,m，作拟合直线p(x)=a+bx,均方误差为由数学知识可知，Q(a,b)的极小值需满足：整理得到拟合曲线满足的方程：5.3.1单变量拟合1.单变量拟合——线性拟合1.单

7、变量拟合——线性拟合该方程可用消元法或克莱姆方法解出方程（如下式所示）单变量拟合——线性拟合实例例：下表为实验测得的某一物性和温度之间的关系数据，表中x为温度数据，y为物性数据。请用线性函数拟合温度和物性之间的关系。解：设拟合直线p(x)=a+bx,并计算得下表：x7911131517192123252729y91215182124273033363942x313335373941434547y454851545760636669编号xyxyx212345…21Σ79111315…47567912151821…698196310

8、8165234315…3243267334981121169225…220918389将数据代入法方程组（1-12）中，得到：解方程得：a=-1.5,b=1.5拟合直线为：相关系数R为1。单变量拟合——线性拟合实例线性拟合VB清单PrivateSubComman