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《浅谈几何变换与辅助线（精）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈几何变换与辅助线一几何变换1872年德国数学家教育学家克莱因建议几何学应按变换群分类，把几何学定义为在某种变换群下，研究图形的不变性质与不变量的一门学科。按几何学的群论原则，每种变换群对应的一门几何学。等长变换和相似变换构成群G2,它对应初等几何学(欧氏几何)；仿射变换群G1对应仿射几何学;射影变换群G对应摄影几何学。这三个群有：G2wG1wG的关系。二初等几何变换初等几何就是在移动、相似变换群下研究图形的不变性质与不变量的几何学。初等几何变换只改变图形的位置和大小，不改变图形的形状。1•合同变换，若将一个图
2、形F,经过某种变换而变为与自己合同的图形",那么这种变换叫做合同变换或者移置，这种变换只改变图形位置。合同变换有下列三种：(1)平移.(2)旋转.(3)轴对称变换。2.相似变换，若将一个图形F,经过某种变换变成与自己相似的图形“，那么这种变换称为相似变换，这种变换改变图形大小，不改变形状。位似变换是一种特殊的相似变换。三中学大纲要求1.通过具体实例认识平移和旋转，探索平移和旋转的基本性质。2.在直角坐标系中，能写出已知顶点坐标的多边形沿一条坐标轴或依次沿两条坐标平移后顶点坐标，并知道对应坐标Z间的关系，体会图形顶
3、点坐标的变化。3.了解图形位似的概念，知道利用位似把图形放大或缩小。4.在直角坐标系屮，探索将有一个顶点为原点，有-•条边在横坐标轴上的多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时，所对应图形的位似关系。5•让学生认识和欣赏平移与旋转在口然界和现实生活中的应用，进一步发展空间观念，感受图形变换的美学价值。四几何变换与辅助线几何变换就是采用运动的观点研究几何图形的性质，它在证明题.求轨迹.解作图等方面有着广泛的应用。解证几何题，除少数简单题目外,般都需要添加辅助线。有很多几何题的条件和结论分布在不同的图形里，位置分散，
4、关系松懈，不容易发现它们之间的内在联系。因而需要将其中一部分元素移动，使条件集中便于推证，反之，若条件过于集中，也要使之分散。这种移动需要借助辅助线来实现，而辅助线的重要思维来源就是初等几何变换。］平移把图形F上的所有点沿着相同的方向移动相同的距离而得到的合同图形F',这一过程叫做平移。例1以AABC三中线为边构成B?C,又以B'C'三中线为边，△"'B”C”，求证AABC—AA"B”C”，相似比是4:3.引导：本题由于三角形三条中线相交于点G,要以三条中线构成三角形必须使其分散。G是重心，是三条中线的分隔点，有
5、GD二丄AD,先考虑AA，C'的边，32注意到CG是AB边上中线的兰，能否构造ACGE与AA，B'C'相似，且相似比3是2:3.做辅助线BG平移到CE,四边形BGCE是平行四边形。ZBDG+ZGDC=180°,乂ZBDG=ZEDC,故ZGDC+ZCDE二180°,所以DDE三点共线，乂平行四边形对角线互相平分，故GD=DE,GE=-AD,因此ACGE各边长等于C'各边长的兰33倍，因此ACGE—AA?B'C',相似比是2:3,CD是ZCGE的中线,CD=-BC,2所以AA，LC'—条中线等于？BC,另外两边通过
6、相同方法可以得到相同结论,4得证。证明:将GB平移到CE,则BGCE是平行四边形,其对角线互相平分与点D,所以71△GEC各边是△ABC各屮线的兰，即相似。由于GEC的中线CD二丄CB,可见△322C'的一条中线等于4BC,其他边方法类似，故得证。42旋转如果将图形f上各点绕一定点o旋转同一角度e得到合同图形，这种变换叫旋转，0叫旋转中心，e叫旋转角。当0=180°时的旋转叫半周旋转，也叫中心反射或中心对称旋转。例2设三角形是正三角形，P是三角形外任一点，求证PB+POPA・引导：三条线段比较关系，要转化到同一三
7、角形中，要证与的关系，应旋转，旋转多少度呢？有是正三角形，自然想到旋转60°,构造出正三角形。证明：ABPC绕点B逆时针旋转60°成ABP'A,连结PP，。易知PB二P，B,ZP"BP=60°,故BP为等边三角形,PP'二PBFA=PC,在△PI”A中，P‘A+P'P>PA,即PB+PC〉PA。3轴对称变换把图形F变换成关于定直线1成轴对称的图形的过程叫轴对称变换或轴反射,1叫反射轴。例3ZABD二ZACD二60,ZADB二90-丄ZEDC,求证AB=AC2引导：证明两边相等，考虑转化到同一三角形中，题目给出的都
8、是角的关系，通过角证边。注意到条件ZADB=90-丄ZBDC,自然可变式为ZADB+丄ZBDO90。,22即2ZADB+ZBDC=180°,是一平角，故延长CD至歹，又注意到ZADB^ZADB,因此应轴对称变换，以AD为轴，做AADB的轴对称图形厶人。!?，证明：作AABD关于直线AD的对称图形△AB'D,由对称知AB=AB^,ZADB'+ZADB+ZBDC=180°,C
