椭圆画法的探究及改进

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1、椭圆画法的探究及改进刘顺强，戴锐，姜明，谭文斌，张宪录（合肥师范学院数学系,安徽合肥230061）摘要：椭I员I的不同画法散见于不同文献，木课题在整理分析几种已有的椭I员I画法及其较为广泛的应用后，对椭圆的某些画法进行了改进和创新。本文重点在四心圆画法基础上有所改进和创新，从而得到了菱形圆弧近似画法。文章主要分三节:利用椭圆的性质画椭圆；椭圆的近似画法；趣味画椭圆。关键词：椭圆；10法；四心圆；圆弧1椭圆定性画法1.1定绳长画椭圆将一根绳分别固定在图板的两点£、耳处旧套上铅笔,拉紧绳子，移动笔尖画出的轨迹就是一条椭圆曲线。1.2利用蝶形椭规画椭[1]（如图

2、1）,在四边形ABDC中,AB=CD,AD=

3、BC

4、,AD和BC有一个交点K。这些杆可以绕四边形的顶点转动。一只手按住杆AB,让它固定，在纸面上，另一只手移动杆AD或BC,使AD绕A转动，BC绕B转动。这时，装在点K处的笔尖图】就会画出椭圆。在教学中有广泛应用。D2椭圆的定量画法2.1椭圆的第二定义（如图2）设动点爪x,y）与定点F2（c,0）的距离2.2同心画椭圆和到定直线/：x=l的距离的比是常数£（日＞»0）,则点於的轨迹图2是椭圆。（如图3）以原点为圆心，分别以a、b（盘＞方＞0）为半径作两个圆，点/是大圆上的一个点，点〃是创与小I员I

5、的交点，过点A作ANA.Ox.垂足为N,过点〃作x轴的平行线交AN于M点，垂足为必当点力在大圆上运动时，册点的轨迹是椭圆。2.3采用在矩形中找点去描点画椭设想:在正方形中画一个内切圆，圆我们可以用描点法去描绘(这些点的找法与上述方法相同)，如果我们把正方形变换成一个矩形，那么原來正方形的圆会变换成一个椭圆。(如图4)(1)用直尺圆规画一个矩形ABCD,边长为2a、2b(a>b)o(2)找到AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H,连接EG、FH,交于0点。(3)在OF、BF分别上找到四等分点并标上1、2、3,4、图5直线Gl、G2、G3,E4、E5

6、、E6.Gl,E4交于I,G2,E5交于J,G3,E6交于K。1、J、K就是椭圆上的点。用光滑的曲线连接E、I、J、K、F.这段圆弧就近似为椭圆的四分之一。证明：(如图5)构造一个矩形ABCD,边长分别为2a,2b(a>b)其中AB,BC,CD,DA四边的中点分别为E,F,G,H,先将OF,BF分n等分。设i为OF,BF第i(i=l,2,3-n)个等分点，现取OF,BF的第i个等分点分别为M(-,0),aQ(0,/?--),连接EQ,连接GM并延长交EQ于用点。n直线GR,EQ的直线方程分别为：abx-niy-nih=Oy2v2乂+厶=1椭圆方aobix+

7、any一abn=0解方程得£点坐标为：经验证弓坐标满足.i+ni丿程。当等分点个数趋向无穷多吋，所有的£点连线即为一条椭圆曲线。2.4U!心扁圆的画法⑴(1)作竖直线段AC,以AC为一边作正三角形ACB和ACD,那么四边形ABCD是菱形，口其钝角是120度。(如图6)(2)设边AB、BC、CD、DA的屮点依次为E、F、G、H。连接BD、AF、AG、CH、四段圆弧连成一条光滑曲线，非常近似于一个椭圆。(如图6)图6（1）已知椭圆的长轴AA',短轴BB',连接AB；图7（2）以0为圆心，A0为半径画弧交y轴于G；（3）以B为圆心，BG为半径，画弧交AE于C；（

8、4）作AC的垂直平分线，交射线02于"，交A0于E；（5）分别在0A',0G上取对称点E',F；（6）分别以E,£*,F,"为圆心，FB或FB，,AE或川&为半径画弧，这四段连接成的图形即为所求近似的椭圆。这样画出的近似椭圆，一般叫作扁圆。出于每个象限内都冇两弧连接而成,因而这种椭I员I也叫做两弧椭。2.6椭圆的八心圆画法⑷椭圆的长半轴a,短半轴b,如何运用直尺和圆规迅速而又比较准确的绘制椭圆是工程上经常遇到的问题。廿前国内普遍采用四心画法。进过整理大量资料整理出了八心画法。这种画法准确度较高，而且便于线切割加工计算的套模。椭I员IP点，Q点曲率半径分别为

9、R「b2/a,他二//b及r二临就很方便的运用直尺和圆规，和四心画法类似，只是每象限用三段圆弧去拟合椭圆。做线段KLH,使KL=aLH=b,然后以KH长为直径在KH线上方画半圆，并过L点作WL丄KH,由圆幕定理可知，WL二临二R，再过K点作线段KSV,使KS=bSV=a.连接LS,再过H点作HT//LS,过V点作VJ//TH,那么：ST二沪/a二心LJ=/几二我们很容易在此图上找到（他一R）及（R—心）线段，画出图9所示的椭圆。ir我们根据四点椭圆近似画法的原理，拓展了一•种新的画法——菱形圆弧近似画法。菱形椭圆近似画法的基木原理同四点椭圆近似画法相似，但

10、在画法和逼近圆半径的计算上有了很大的进步。同时对制图有很大的帮助。