数值计算方法第2版 第4章 插值法

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1、第4章插值法4.1引言4.2拉格朗日插值4.3逐次线性插值4.4牛顿插值4.5等距节点插值4.6反插值4.7埃尔米特插值4.8分段插值法4.9三次样条插值定义函数y=f(x)在区间[a,b]上有函数值即x0x1x2……xny0y1y2……yn其中x0,x1,x2,…,xn是区间[a,b]上的互异点，要构造一个简单的函数作为f(x)的近似表达式，使满足(插值条件)这类问题称为插值问题。-----f(x)的插值函数,f(x)-----被插值函数x0,x1,x2,…,xn-----插值节点，[a,b]称为插值区间求插值函数的方法称为插值法。若x∈[a,b]

2、，可计算f(x)的近似值φ(x),则x称为插值点。4.1引言4.1.1插值问题及代数多项式插值插值已知某些(有限)点的函数值求其余点的函数值。代数多项式插值当选择代数多项式作为插值函数时，称为代数多项式插值。定义(代数多项式插值)设函数y=f(x)在[a,b]上已知n+1个点a≤x0

3、n次。定理n+1个互异节点处满足插值条件的n次代数多项式是唯一的。证其系数行列式方程组有唯一解，因此P(x)存在且唯一。4.1.2代数多项式插值的唯一性唯一性说明不论用那种方法构造的插值多项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互相恒等的。推论当f(x)是次数不超过n的多项式时，其n次插值多项式就是f(x)本身。例在直线上取两个点进行插值，插值多项式就是这条直线。在二次抛物线上取三个点进行插值，插值多项式就是这条二次抛物线。在直线上取三个点进行插值，插值多项式还是这条直线。在二次抛物线上取四个点进行插值，插值多项式也是这条二次抛物线。4.1.3插值的几

4、何意义几何意义是一条经过平面上n+1个节点，的n次抛物线y=P(x),近似代替曲线y=f(x)。4.2拉格朗日插值4.2.1线性插值(二点一次插值）1定义已知f(x0)=y0，f(x1)=y1,x0≠x1xx0x1yy0y1要构造线性函数P(x)=a0+a1x,使满足插值条件P(x0)=y0,P(x1)=y1.2表达式拉格朗日插值多项式公式的结构：它是两个一次函数的线性组合线性插值基函数线性插值的几何意义用直线近似代替被插值函数。例造数学用表。平方根表给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性插值求115的平方根。解x0=100,x1=12

5、1,x=115x100121y1011抛物线（二次）插值:(三点二次插值）1定义已知f(x)在三个互异点x0,x1,x2的函数值y0,y1,y2xx0x1x2yy0y1y2构造一个次数不超过二次的多项式使满足插值条件插值基函数1000100012公式的构造：拉格朗日二次插值多项式满足插值条件例造平方根表已知100，121，144的平方根，计算115的平方根的近似值。x100121144y101112解二次插值也称为抛物插值。当三点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)位于一条直线上时，显然插值函数的图形是直线。4.2.2拉格朗日插值多项式定理

6、若则lk(x)称为关于节点xi(i=0,1,…,n)的n次插值基函数。基函数的特点基函数的个数等于节点数。2.n+1个节点的基函数是n次代数多项式。3.基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯一的确定。4.基函数和被插值函数无关。5.基函数之和为1。定理n次拉格朗日插值多项式证基函数是关于x的n次多项式，所以p(x)是关于x的不超过n次的多项式。又满足插值条件。拉格朗日三次多项式n次拉格朗日插值多项式又其中可以证明则4.2.3插值余项和误差估计：余项(截断误差)定理设函数f(x)在包含节点x0,x1,…,xn的区间[a,b]上有n+1阶导数，则

7、其中证令x是区间[a,b]上任一固定点，当x=xi(i=0,1,…,n)时，由插值条件知R(xi)=0，左=右，结论显然成立。,ξ∈(a,b)当x是[a,b]上除节点外任一个固定点时，作辅助函数当t=x,x0,x1,…,xn时F(t)=0，F(t)在区间[a,b]上至少有n+2个互异的零点x,x0,x1,…,xn。根据罗尔定理，F(t)在连续函数F(t)每两个零点之间有一个零点。即F(t)在(a,b)内至少有n+1个互异的零点，F(t)在(a,b)内至少有n个互异零点。依此类推，可知F(n+1)(t)在(a,b)内至少有一个零点ξ，即F(n+

8、1)(ξ)=0，辅助函数两端对t求n+1阶导数，并比较其两端，有从而结论成立。当插值点x∈(a,b)时称为内