人口模型(马尔萨斯 vs logistic)

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1、人口模型微分方程模型在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题.本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。求出方程的解——求出未知函数的解析表达式——利用各种数值解法、数值软件（如Matlab）求近似解不必求出方程的解——根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变化趋势把未知变量表示为已知量的函数——跟已知量的导数有关为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长

2、。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。美丽的大自然种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。离散化为连续，方便研究§4.1Malthus模型与Logistic模型美丽的大自然哇！§4.1Malthus模型与Logistic模型世界人口年1625183019301960197419871999人口（亿）5102030405060中国人口年19

3、08193319531964198219902000人口（亿）34.767.210.311.312.95模型1马尔萨斯（Malthus）模型假设：人口净增长率r是一常数（4.2）（3.1）的解为：符号：则（4.1）于是x（t）满足如下微分方程：马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：故（4.2）当r>0时，表明人口将按指数规律无限增长，因此又称为人口指数模型。模型检验用P61给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万作单位），对模型作检验。参数估计：r，x0可用已知数据利用线性最小二乘法进行估计（4.2）（4.2）

4、式两边取对数，得：（4.3）以1790－1900年的数据拟合（4.3）式，用Matlab软件计算得：r＝0.2743/10年，Matlab计算示范以1790-1900年共计12个数据为例进行拟合：t=[0：11]；%输入数据x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976];plot(t,x,’o’);%画散点图y=log(x);p=polyfit(t,y,1)（4.3）输出结果：表示：模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每

5、人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。几何级数的增长Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。练习一：用P61的部分或者全部数据拟合Malthus模型，计算并作图，观察并分析结果。模型2Logistic模型人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(x)从而有：（4.4）r(

6、x)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。r(x)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令r(x)=r-ax此时得到微分方程：或（4.5）（4.5）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。

7、（4.5）可改写成：（4.6）(4.6)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为xm（近似地将xm看成常数），x表示当前的种群数量，xm-x恰为环境还能供养的种群数量，（4.6）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（4.6）也被称为统计筹算律的原因。图4-1对（4.6）分离变量：两边积分并整理得：令x(0)=x