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1、7、如图1,若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG二CE,AG丄CE.（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立,请说明理由.（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H,交AD于M.①求证：AG±CH;②当AD=4,DG=V2DEC图2D99.（2010年江苏省苏州市）28.（本题满分9分）刘卫同学在一次课外活动屮，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②.图①中，ZB=90°,ZA=30°,BC=6cm；图②中，ZD=90°,ZE=45
2、°,DE=4cm.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将ADEF的直角边DE与AABC的斜边AC重合在一起，并将ADEF沿AC方向移动.在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）.⑴在ADEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐.（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当ADEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？问题②：当ADEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角
3、三角形？问题③：在ADEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得ZFCD=15°?如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.请你分别完成上述三个问题的解答过程.（图①〉（图②）1(2008年莆山质检）（1）探究：如图1,E、F分别在止方形ABCD的边BC、CD上，且ZEAF=45°，请猜测并写出线段EF、BE、DFZ间的等量关系（不必证明）。（1）变式：如图2,E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD±,ZB+ZD=180°,AB=AD,ZEAF=-ZBAD,则线段BE、EF、FD的等量关2系又如何？请加以证明。（2）应用：在
4、条件（2）中，若ZBAD=120°,AB=AD=1,BC=CD（如图3）,求此时ACEF的周如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，ZBAC=ZAGF=90°，它们的斜边长为2,若ZSABC固定不动，AAFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m,CD=n.（1）请在图屮找出两对和似而不全等的三角形，并选取其屮一对进行证明；（2）求m与n的函数关系式，直接写出H变量n的取值范围；（3）以AABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC
5、边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）.在边BC±找-点D,使BD=CE,求出D点的处标，并通过计算验证BD2+CE2二DE2；一位同学拿了两块相同的45。三角尺WCB做了一个探究活动：将△MV7T的玄角顶点肘放在的斜边個的中点处，设AC=BC=.图（1）BB(1)如图(1),两三角尺的重叠部分为△力创；则重叠部分的面积为,周长为.(2)将图(1)中的△•枷X绕顶点•"逆时针旋转45°,得到图26(2),此时重叠部分的而积为，周长为.(3)如果将△附绕"旋转到不同于图(1)和图(2)的图形,如图(3),请你猜想此时
6、重叠部分的面积为.(4)在图(3)情况下，若初=1,求出重霄部分图形的周K将一副直角三角板DEF按如图1摆放，使直角顶点D落在等腰RtAABC的斜边BC的中点上，DF,DE分别与AB,AC交于点M,N；(1)如果把图1小的ADCN绕点D顺时方向旋转180°，得到图2,在不添加任何辅助线的情况下，图2屮除△DCN^ADBG外，你还能找到一对全等的三角形吗？写出你的结论并说明理由；(2)将三角板DEF绕点D旋转，①当M,N分别在AB,AC±时，线段BM,CN,MN之间有一个确定的等量关系.请你写出这个关系式(不需证明)；②如图3当点M,
7、N分别在BA,AC的延长线上时，①的关系式是否仍然成立？写出你的结论，并说明理由.某课题组在探究“泵站问题”时抽彖出数学模型：肓线1同旁有两个定点A、B,在肓线1上存在点P,使得PA+PB的值最小.解法：作点A关于直线1的对称点A',连接A'B,则A'B与直线1的交点即为P,且PA+PB的最小值为A'B.请利用上述模型解决下列问题:(1)几何应用：如图1,等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，贝ljPB+PE的最小值为■9(2)儿何拓展：如图2,AABC'I',AB=2,ZBAC=30°,若在
8、AC、AB±各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；(3)代数应用：求代数式J宀1+J(4-xF+4(0WxW4)的最小值.EB如图1,在正方形ABCD屮，E是AB±一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.(1)求证：CE
