探究勾股定理

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1、2、探究勾股定理（1）相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．我们也来观察，看看能发现什么数量关系．（2）三个正方形A，B，C的面积有什么关系？追问由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长度之间有怎样的特殊关系？　师生活动：学生独立思考，表述自己对问题的看法．师生共同归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．设计意图：教学活动从“数小方格”开始，起点低、趣味性浓，照顾了各个知识层面的学生，有利于实现“每一个学生的发展”．从最特殊的直角三角形入手，通过观察，思

2、考，并进行初步的一般化．（3）在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？追问正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？师生活动：学生独立探究，并合作交流，个人展示．难点是求以斜边为边长的正方形的面积．教师在学生回答的基础上归纳方法---割补法．最后再次得到此图中直角三角形三边的关系。设计意图：网格中的直角三角形也是直角三角形的特殊情况，为计算方便，通常将直角边长设定为整数．进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下的直角三角形三边关系打下基础，提供方法．（4）通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形

3、三边之间应该有什么关系？师生活动：教师引导学生得到猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．设计意图：在网格背景下，通过观察和分析等腰直角三角形及一般的直角三角形三边关系，为形成猜想提供了典型特例，于是猜想的形成变得水到渠成．（5）以上这些直角三角形的边长都有具体的数值。如果脱离网格，该怎样证明猜想正确呢？这里老师提供一种思路．如图，有四个相同的直角三角形，它们的两条直角边分别为a,b，斜边为c，你能利用它们拼成一个大正方形吗？你有几种拼法？你能利用拼图来证明猜想吗？师生活动：1、先让学生拼图粘贴．2．让学生上台展示拼图，其余

4、学生交流方法．待基本同时完成后，请展示的同学讲解自己拼图方法以及你是怎样得到这种拼图呢？教师追问：你是怎样想到这样的拼图方法的？再追问其他同学有没有不一样的想法．3．师总结点评拼图方法，指出第一种方法就是前面求面积中用到的割的方法，第二种方法是补的方法．4、学生根据两种拼图分别证明猜想．5、师生再次点评证明方法，可由学生自己讲解自己的思路．教师给以肯定和归纳：我们采用了两种拼图方法并都运用面积法证明了猜想的正确性．学生可能得到以下拼图：设计意图：通过学生动手拼图的探究和交流，发现利用代数观点证明几何问题的思路，同时证明过程体现步步有据．学生经历“由直观判断到理性

5、证明的过程”，创造性地得出拼图的多种方法，我配以演示，如拼法一、拼法二，从而分散了教学难点，发现了利用面积相等去证明勾股定理的方法．这样的设计培养了学生的发散思维、一题多解和探究数学问题的能力．(6)还有没有其他的证明方法呢？你能利用手中剩下的学具完成拼图和证明吗？试一试.师生活动：教师提出问题后，学生动手操作。先完成的同学上台展示自己的拼图和证明，并加以讲解．学生可能得到以下拼图：设计意图：通过第三种证明方法的探究，进一步培养学生的拼图动手能力，培养学生思维的发散能力，使学生感受到勾股定理证明方法的多样性，体会数学带来的乐趣．（7）由以上证明可以得到猜想是正确

6、的，这就是有名的勾股定理．第一种方法来源于我国古代的赵爽弦图，第二种方法是传说中的毕达哥拉斯证法．而第三种方法是美国第20任总统詹姆斯·菲尔德的证明方法．勾股定理的证法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究．而我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.师生活动：教师给以声情并茂的介绍．设计意图：我介绍我国古代数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育，激励学生强烈的民族自豪感和奋发向上的学

7、习精神．欣赏丰富多彩的数学文化，展示不同文化背景下的勾股定理的应用，共同为全人类的伟大发现而骄傲．设计意图：本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，在解答此题时要注意分三种情况讨论，不要漏解．