专题2椭圆探究性课题

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1、专题2椭圆综合性课题Bi课题1焦点三角形1、定义：椭慣I上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题冇意地考查了定义、三角形小的的正（余）弦定理、内角和定理、面枳公式等.2、性质X1y2性质1：已知椭圆方程为一r+r=l（a>b>0）,akr焦点分别为设焦点三角形PF"ZPF}F2=a,ZPF2F}=0,则椭圆的离心率sin（Q+0）e=osina+sin0证明：山正弦定理得:sin(180°-a-p}sin(cr+0)2csin(a+0)sinaPF、+"21型山等比定理得:sinp2asina+sin0f}f2_

2、pf,

3、+

4、pf2

5、s

6、in((7+0)sina+sin0sin(a+0)sina+sin0在4F}PF2中，cos&=PF,9'+PF2-M2PF,“2

7、(PF}+PF2)2-?PF^PF2-4c22阿

8、“2

9、xv性质2：已知椭関方程为r+—=l（Q>b>0）,左右两焦点分别为F』，设焦点三角形PF"若大，则erb"点p为椭圆短轴的端点。证明：设戶（尢小儿），由焦半径公式可知：PF、=a+ex0.PF、=a-exo4a2-4c214/7212沪l=l—2

10、PF』PF』2(a+%)(d—g)/-e2x2•••—a

11、）=0时〃最大。22XV性质J已知椭圆方程为—+^=（a>h>0两焦点分别为F“F»设焦点三角形PFlF2中ZF（PF.=0,则acos&>l-2e2.证明：设PF{=r{,PF2=r2，则在△FfF?小,由余弦定理得：cosq=於一尸1巧2=(斤+e)2_2斤厂2_4c2=2a?一2(?2人厂22斤乙2斤卩命题得证。‘空士+込斗亠］»力人+厂222/2(丁)y2性质4：已知椭圆方程为r+r=1(Q>b>0),两焦点分别为F”F”设焦点三角形PF,F2中ZFjPZs=&，则atr2&S/PF?=b~tan—o•••『引阴J阿冲即-4c2(1+cos&)4a2-4c

12、2_2h22(1+cos&)1+cosO证明：・・・(2c)2=

13、^F212=(PF,

14、2+

15、PF212-2

16、PF(

17、

18、PF21cos=(PF{

19、+

20、PF21)2-?PF^PF2(l+cos0)af}pf2I•••"=啊卩咖心鵲』心嗚卷型1、和椭圆的离心率有关兀2v2例1、己知椭IMI—+^=1(^>/?>0)的两焦点分别为F,F“若椭恻上存在一点£使得ZF.PF.=120°,求椭恻的离CT/?_V

21、心率0的取值范围。解法山椭圆焦—形性质可知cos1205亠•即-*1亠，于是得到吨值范国是_x/3解法2：令牛F2=3由椭圆焦点三角形性质可知e=讪鳥n&j)=阿两

22、空sin120°V32,1丿例次已知椭圆的焦点是用(一1,0)>尺(1,0),P为椭圆上一点，且丨幷尺丨是丨殆

23、和丨朋丨的等差中项.(1)求椭圆的方程;兀2乂2c=2,：・b=&：・椭圆的方程为一⑵若点戶在第三彖限，且/P斥场=120。，求tanF}PF2.解：(1)由题意丨戶出I=I丹；丨+丨处I二2自⑦5i则”毎6。。i.•椭圆的离心率"宁nI1sin（18（r-0）sin"也询仙…则一二——二，整理得：5sin2sinl20°+sin（60。-0）羽.心。卬—+sin（60-0）厂,V

24、・・・』^=匣故3纟=匣，ta亦g=tan心卡1+COS&525]_211~2

25、5练习:X2V2,1、已知椭圆U+話=1的两个焦点分别为许，尸2，过尸2作椭恻长轴的垂线交椭圆于点P，若bF'PF》为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为.2、己知片、尸2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，f]^F}PF2=60求椭圆离心率e的取值范围。类型2、和三角形的形状，面积冇关2例.椭圆壬+冷+焦点杯%,点P为其上的动点，当"朋为钝角时点卩的横坐标的取值范围是解：山椭圆的标准方程得a=3,b=2,c=a/5.方法1：当/FfF?为直角时，有<門+阳*得阿「+『巴「=20,■先求当ZF,PF2为直角时点p横坐标勺x2(x,

26、标满足x,

27、化/pppI方法2：当ZF'PF]为直角时，S旺阳=b2tan——!~:代入椭恻方程得%=±3^5"T"故当ZFfF?是钝角时,点P的横处标取值范围是一还