专题2椭圆探究性课题

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1、专题2椭圆综合性课题Bi课题1焦点三角形1、定义:椭慣I上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题冇意地考查了定义、三角形小的的正(余)弦定理、内角和定理、面枳公式等.2、性质X1y2性质1:已知椭圆方程为一r+r=l(a>b>0),akr焦点分别为设焦点三角形PF"ZPF}F2=a,ZPF2F}=0,则椭圆的离心率sin(Q+0)e=osina+sin0证明:山正弦定理得:sin(180°-a-p}sin(cr+0)2csin(a+0)sinaPF、+"21型山等比定理得

2、:sinp2asina+sin0f}f2_

3、pf,

4、+

5、pf2

6、sin((7+0)sina+sin0sin(a+0)sina+sin0在4F}PF2中,cos&=PF,9'+PF2-M2PF,“2

7、(PF}+PF2)2-?PF^PF2-4c22阿

8、“2

9、xv性质2:已知椭関方程为r+—=l(Q>b>0),左右两焦点分别为F』,设焦点三角形PF"若大,则erb"点p为椭圆短轴的端点。证明:设戶(尢小儿),由焦半径公式可知:PF、=a+ex0.PF、=a-exo4a2-4c214/721

10、2沪l=l—2

11、PF』PF』2(a+%)(d—g)/-e2x2•••—ah>0两焦点分别为F“F»设焦点三角形PFlF2中ZF(PF.=0,则acos&>l-2e2.证明:设PF{=r{,PF2=r2,则在△FfF?小,由余弦定理得:cosq=於一尸1巧2=(斤+e)2_2斤厂2_4c2=2a?一2(?2人厂22斤乙2斤卩命题得证。‘空士+込斗亠]»力人+厂222/2(丁

12、)y2性质4:已知椭圆方程为r+r=1(Q>b>0),两焦点分别为F”F”设焦点三角形PF,F2中ZFjPZs=&,则atr2&S/PF?=b~tan—o•••『引阴J阿冲即-4c2(1+cos&)4a2-4c2_2h22(1+cos&)1+cosO证明:・・・(2c)2=

13、^F212=(PF,

14、2+

15、PF212-2

16、PF(

17、

18、PF21cos=(PF{

19、+

20、PF21)2-?PF^PF2(l+cos0)af}pf2I•••"=啊卩咖心鵲』心嗚卷型1、和椭圆的离心率有关兀2v2例1、己知椭IMI—+

21、^=1(^>/?>0)的两焦点分别为F,F“若椭恻上存在一点£使得ZF.PF.=120°,求椭恻的离CT/?_V

22、心率0的取值范围。解法山椭圆焦—形性质可知cos1205亠•即-*1亠,于是得到吨值范国是_x/3解法2:令牛F2=3由椭圆焦点三角形性质可知e=讪鳥n&j)=阿两空sin120°V32,1丿例次已知椭圆的焦点是用(一1,0)>尺(1,0),P为椭圆上一点,且丨幷尺丨是丨殆

23、和丨朋丨的等差中项.(1)求椭圆的方程;兀2乂2c=2,:・b=&:・椭圆的方程为一⑵若点戶在第三彖限,且/P斥场

24、=120。,求tanF}PF2.解:(1)由题意丨戶出I=I丹;丨+丨处I二2自⑦5i则”毎6。。i.•椭圆的离心率"宁nI1sin(18(r-0)sin"也询仙…则一二——二,整理得:5sin2sinl20°+sin(60。-0)羽.心。卬—+sin(60-0)厂,V

25、・・・』^=匣故3纟=匣,ta亦g=tan心卡1+COS&525]_211~25练习:X2V2,1、已知椭圆U+話=1的两个焦点分别为许,尸2,过尸2作椭恻长轴的垂线交椭圆于点P,若bF'PF》为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为.2、

26、己知片、尸2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,f]^F}PF2=60求椭圆离心率e的取值范围。类型2、和三角形的形状,面积冇关2例.椭圆壬+冷+焦点杯%,点P为其上的动点,当"朋为钝角时点卩的横坐标的取值范围是解:山椭圆的标准方程得a=3,b=2,c=a/5.方法1:当/FfF?为直角时,有<門+阳*得阿「+『巴「=20,■先求当ZF,PF2为直角时点p横坐标勺x2(x,

27、=丄F}F2y/.4tan45°=丄•2问y

28、化/pppI方法2:当ZF'PF]为直角时,S旺阳=b2tan——!~:代入椭恻方程得%=±3^5"T"故当ZFfF?是钝角时,点P的横处标取值范围是一还

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