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《2018年秋高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系学案 新人教A版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 空间向量与垂直关系学习目标：1.能利用平面法向量证明两个平面垂直．(重点)2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点，难点)[自主预习·探新知]空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)面面垂直若平
2、面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示] 垂直[基础自测]1．思考辨析(1)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直．( )(2)两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．( )(3)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直．( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，
3、平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )A．l∥α B．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交B [∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0,1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．l1⊥l2 [＝(1，－1,1)，u1·＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2.]4．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________.【导学号：4634
4、2167】α⊥β [u1·u2＝0，则α⊥β.][合作探究·攻重难]应用向量法证明线面垂直 如图3210所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．图3210求证：AB1⊥平面A1BD．[思路探究] 法一：通过证明⊥，⊥，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD法二：证明与平面A1BD的法向量平行．[证明] 法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x
5、轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．法二：建系同方法一．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则，即令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1,2，－)，又＝(1,2，－)，所以n＝，即∥n.所以AB1
6、⊥平面A1BD．[规律方法] 1.坐标法证明线面垂直有两种思路法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．[跟踪训练]1.如图3211，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD
7、1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC．图3211[证明] 依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0，1,0)，B1(1,1,2)，于是＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,1,1)，∴·＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0，·＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC．故直线PB1⊥平面PAC．应用向量法证明面面垂直 如图3212所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥B
8、C，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．图3212[思路探究] 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条
