3.2立体几何中的向量方法第2课时 空间向量与垂直关系 教案(人教A版选修2-1)

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1、第2课时　空间向量与垂直关系●三维目标1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．2．过程与方法通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程．3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神．●重点难点重点：用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．难点：用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题．本节课重点和难点在于用向量证明垂直关系，应利用探究式教学

2、以及多媒体帮助分散难点，强化重点．(教师用书独具)●教学建议根据教学目标，应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过程．因此本节课给学生提供以下4种学习的机会：(1)提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生观察并用学生自己的语言进行归纳；(2)提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题；(3)提供表达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说；(4)提供成功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣．●教学流程⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒课标解读1.掌握直线的方

3、向向量和平面的法向量的求法．(重点)2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题．(重点、难点)线线垂直【问题导思】　　立体几何中怎样证明两条直线互相垂直？【提示】　(1)证明两直线所成的角为90°.(2)证明两直线的方向向量垂直．(3)转化为先证直线与平面垂直，再用线面垂直的性质．　设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.线面垂直【问题导思】　1．如果已知直线的方向向量与平面的法向量，怎样证明直线与平面垂直？【提示】

4、　证明直线的方向向量与平面的法向量共线．2．除上述方法外，还有其他证明方法吗？【提示】　可以证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量都垂直．　设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．面面垂直　若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.利用向量证明线线垂直图3－2－10　已知正三棱柱ABC－A1B1C

5、1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.【思路探究】　(1)若选、、为基向量，你能用基向量表示与吗？怎样证明与垂直？(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？你能用坐标表示向量与并证明它们平行吗？【自主解答】　法一　设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得

6、a

7、＝

8、b

9、＝

10、c

11、＝1，a·c＝b·c＝0，＝a＋c，＝(a＋b)，＝b＋c，＝－＝－a＋b＋c，∴·＝(a＋c)·(－a＋b＋c)＝－＋cos60°＋0－0＋0＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN.法二　设AB中

12、点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A(－，0,0)，B(，0,0)，C(0，，0)，N(0，，)，B1(，0,1)，∵M为BC中点，∴M(，，0)．∴＝(－，，)，＝(1,0,1)，∴·＝－＋0＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN.利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：(1)基向量法：①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．(2)坐

13、标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．　在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.【证明】　以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x，∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．∵·＝(－x，a，－a)·(

14、a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，∴⊥，即A1F⊥C1E.利用向量证明线面垂直　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.【思路探究