2018年秋高中数学 专题强化训练2 圆锥曲线与方程 新人教A版选修1 -1

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1、专题强化训练(二)圆锥曲线与方程(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足

2、PF1

3、－

4、PF2

5、＝2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为(　　)A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线C　[依题意，得

6、F1F2

7、＝10.当a＝3时，

8、PF1

9、－

10、PF2

11、＝2a＝6<

12、F1F2

13、，可知点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，

14、PF1

15、－

16、PF2

17、＝2a＝10＝

18、F1F2

19、，可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线．故选C.]2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦

20、点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)A.＋＝1　　B．x2＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1B　[椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.]3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e＝(　　)【导学号：97792113】A.　　B．2　　　C.　　D．3A　[由题意知－×＝－1，即＝1，∴e2＝1＋＝2，即e＝.]4．直线y＝与双曲线－y2＝1交点的个数是(　　)

21、A．0B．1C．2D．3B　[双曲线的渐近线方程为y＝±x，则直线y＝与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线只有一个交点．]5．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)A．2B．1C．0D．0或1A　[由题意，得>2，所以m2＋n2<4，则－2

22、＝4.抛物线方程为x2＝4y.]7．椭圆的两个焦点为F1，F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．　[由题意知

23、F1A

24、＝

25、F2A

26、＝a，

27、F1F2

28、＝2c.由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cos120°.即3a2＝4c2，所以e2＝＝.所以e＝.]8．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________．2x－y－15＝0　[设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)则②－①整理得＝，又x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.所以＝2，即弦所在的

29、直线的斜率为2.故弦所在的直线方程为2x－y－15＝0.]三、解答题9．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程．(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当

30、AM

31、＝

32、AN

33、时，求m的取值范围.【导学号：97792114】[解]　(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1(a>1)，则右焦点F(，0)，由题设，知＝3，解得a2＝3，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)设点P为弦MN的中点，由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m

34、2<3k2＋1，①所以xP＝＝－，从而yP＝kxP＋m＝，所以kAP＝＝－，又

35、AM

36、＝

37、AN

38、，所以AP⊥MN，则－＝－，即2m＝3k2＋1，②把②代入①得2m>m2，解得00，解得m>，故所求m的取值范围是.10．已知椭圆C经过点A，两个焦点为(－1，0)，(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．[解]　(1)由题意，c＝1，设椭圆的方程为＋＝1.因为A在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝3或b2＝－(舍去)．所以椭圆的方程为＋＝1

39、.(2)证明：设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋，代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4－12＝0，设E(xE，yE)，F(xF，yF)，所以xE＝，yE＝kxE＋－k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k.所以直线EF的斜率kEF＝＝＝.即直线EF的斜率为定值，其值为.[能力提升练]1．已知双曲线C的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作FB∥l1且交l2于点B，过点B作BA⊥l2且交l1于点A.若AF⊥x轴，则双曲线C的离心率为(　　)A.B.C.D．2B　[如图，延长AF交l2于A1