第三章+++习题课

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1、洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用第三章习题课下页上页首页第三章习题课1、罗尔中值定理下页上页首页罗尔中值定理2、拉格朗日中值定理有限增量公式.下页上页首页拉格朗日中值定理3、柯西中值定理推论下页上页首页柯西中值定理4、洛必达法则定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.注意：洛必达法则的使用条件.下页上页首页洛必达法则5、泰勒中值定理下页上页首页泰勒中值定

2、理常用函数的麦克劳林公式下页上页首页常用函数的麦克劳林公式6、导数的应用定理(1)函数单调性的判定法下页上页首页函数单调性的判定法定义(2)函数的极值及其求法下页上页首页函数的极值及其求法定理(必要条件)定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.下页上页首页定理(第一充分条件)定理(第二充分条件)下页上页首页定理(第一充分条件)求极值的步骤:下页上页首页求极值的步骤步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个

3、就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题下页上页首页最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;(4)曲线的凹凸与拐点定义下页上页首页曲线的凹凸与拐点下页上页首页曲线的凹凸与拐点定理1下页上页首页曲线的凹凸与拐点方法1:方法2:下页上页首页方法利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步(5)函数图形的描绘下页上页首页函数图形的描绘第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;第五步下页上页首页函数图形的描绘(6)弧微分曲率曲率圆曲率的计算公式下页上页首页弧微分曲率曲率圆定义下页上页首页例1解二

4、、典型例题下页上页首页证明方程有且仅有三个实根。由观察得是方程的一个根考查在，上有∴方程还有另两根分别在和典型例题下页上页首页上假设还有第4个根，设其为则连续三次使用罗尔定理有，但，，引起矛盾∴方程有且仅有三根典型例题例2解下页上页首页典型例题例3证由介值定理,下页上页首页典型例题注意到由,有+,得下页上页首页典型例题例4证下页上页首页典型例题例5证下页上页首页典型例题–,则有下页上页首页典型例题例6解下页上页首页典型例题若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有下页上页首页典型例题解此方程组得故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处

5、的曲率圆的圆心为下页上页首页典型例题例7解奇函数下页上页首页典型例题下页上页首页典型例题列表如下:下页上页首页典型例题极大值拐点极小值下页上页首页典型例题作图下页上页首页典型例题测验题下页上页首页测验题下页上页首页测验题下页上页首页测验题下页上页首页测验题下页上页首页测验题下页上页首页测验题下页上页首页测验题下页上页首页测验题测验题答案下页上页首页测验题答案七、下页上页首页测验题答案