第三章习题课

《第三章习题课》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第三章习题课一.向量组的线性相关性二.矩阵的秩、向量组的秩的求法三.关于向量组的秩、矩阵的秩的证明四.正交化与正交矩阵1一.向量组的线性相关性1.向量间的线性运算：加法、数乘。把向量理解为列矩阵或行矩阵时，事实上就是矩阵的加法和数乘。注意:(1)同维向量做加减。(2)零向量参与运算时，维数与其它向量维数相同。2.线性组合、线性表示(1)判断向量可由向量组线性表示的常用方法方法1：只要证出就可得出2方法2：证下列线性方程组有解其中方法3：利用矩阵的初等行变换行最简形矩阵3(2)在判断或证明中，常用到的两个重要结论结

2、论1：向量可由向量组线性表示结论2：若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式唯一。4(2)利用常用结论：1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。2个非零向量线性相关对应分量成比例n＋1个n维向量线性相关。部分相关整体相关；整体无关部分无关。3.线性相关性的判别方法(1)一般方法：设数使得成立转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关；原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。5(3)利用向量组的秩判断：设向量组的秩为当时，线性无关

3、。当时，线性相关；4.极大无关组的选取或证明(1)初等变换法（最常用）将列向量组写成矩阵初等行变换行阶梯或行最简形矩阵的一个极大无关组，例如：求向量组并把其余向量用该极大无关组线性表示。6解：是一个极大无关组并且考虑：还有那些极大无关组？初等行变换7(2)极大无关组的证明方法1：利用定义线性无关；其它向量都可由线性表示。（即向量组中任意r+1个向量都线性相关）方法2：已知是向量组A的一个极大无关组，又A中部分组与等价，则也是A的一个极大无关组。例如：设是向量组A的极大无关组，且证明也是A的极大无关组。8证明：（往

4、证与等价）向量组可由向量组线性表示。又向量组可由向量组线性表示。两个向量组等价也是极大无关组。9二.矩阵的秩、向量组的秩的求法初等变换后，看非零行的行数。三.关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩的两个重要定理：（1）若向量组可以由向量组线性表示，则（2）若向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么101.向量组秩的不等式的证明例1：设向量组的秩为向量组的秩为向量组的秩为证明：（书p104/3.11）证：（比较向量组秩的大小，通常从各自的极大无关组考虑）当或时，结论显然成立。当时，不失一般性，设向量组A

5、的极大无关组是设向量组B的极大无关组是设向量组B的极大无关组是11显然可由线性表示，又线性无关，又可由线性表示，而线性无关，同理，可由线性表示，而线性无关，综上，有12有关矩阵秩的重要结论：(2)设矩阵若则存在可逆矩阵使得即矩阵A可以经过初等变换化为形式。(3)若都可逆，则132.矩阵秩的不等式的证明例2：证明书p104/3.12证：（1）设把它么用列向量组表示设设A的列向量组的极大无关组为则设则设A的列向量组的极大无关组为14则可知中任一列向量都可由向量组线性表示，又综上，15（2）设把A用列向量组表示，设则即

6、AB的列向量组可由线性表示，即可由矩阵A的列向量组线性表示，16又综上17例3：已知证明：当时，书p104/3.13证：设则存在可逆矩阵使得又（令）（令）18S行n-S行可逆（Q可逆）19例4：证明证：设则经过初等变换，有203.矩阵秩的等式的证明（1）证思路（2）证思路则则21例5：设为阶矩阵，为阶单位矩阵。证明：证：综上，22证：设则又由线性无关，得综上，例6：设向量组能由向量组线性表示为其中为矩阵，且线性无关。证明：线性无关的充分必要条件是书p105/3.1423（反证法）若线性无关，则存在不全为零的数使得

7、成立，即又有（思路：无关）找矛盾，推相关。24又已知而否则，若＝0，则K的列向量组线性相关，则r（K）

8、有n－1阶子式全为0，则中元素全为0，即练习p104/3.9;作业p105/3.1729四.正交化与正交矩阵1.正交化、单位化2.正交矩阵的n个列（行）向量组为单位正交向量组也是正交矩阵是正交矩阵，则也是正交矩阵例8：书p106/3.24例9：书p106/3.2530