（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程学案 新人教A版必修1

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1、3.1预习课本P86～88，思考并完成以下问题(1)函数零点的定义是什么？　(2)函数零点存在性定理要具备哪两个条件？(3)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么？1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．[点睛]　函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(

2、b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[点睛]　定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．(　　)(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．(　　)(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．函数f(x)＝log2x的零点

3、是(　　)A．1　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4答案：A3．下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)答案：D4．函数f(x)＝x2－5x的零点是________．答案：0,5求函数的零点[例1]　(1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.[解]　(1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是x＝－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．

4、(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．　　　　[活学活用]1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)A.，0　　　　　　　　B．－2,0C.D．0判断函数零点所在的区间解析：选D　当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x

5、＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0.[例2]　函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(e，＋∞)[解析]　∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．[答案]　B判断函数零点所在区间的3个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至

6、少有一个零点．　　　　[活学活用]2．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)A．－2　　　B．0　　　　C．1　　　　D．3解析：选A　f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.判断函数零点的个数[例3]　(1)f(x)＝的零点个数为(　　)A．3　　　B．2　　　　C．1　　　　D．0(2)判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．(1)[解析]　当x≤0时，由f(

7、x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0得x＝e2.∴函数的零点个数为2.[答案]　B(2)[解]　[法一　图象法]函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．　[法二　判定定理法]由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2