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时间:2019-11-16
《(全国通用版)2019高考数学二轮复习 压轴大题突破练(三)函数与导数(1)理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、(三)函数与导数(1)1.(2018·江南十校模拟)设f(x)=xlnx-ax2+(3a-1)x.(1)若g(x)=f′(x)在[1,2]上单调,求a的取值范围;(2)已知f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.解 (1)由f′(x)=lnx-3ax+3a,即g(x)=lnx-3ax+3a,x∈(0,+∞),g′(x)=-3a,①g(x)在[1,2]上单调递增,∴-3a≥0对x∈[1,2]恒成立,即a≤对x∈[1,2]恒成立,得a≤;②g(x)在[1,2]上单调递减,∴-3a≤0对x∈[1,2]恒成立,即a≥对x∈[1,2]恒成立,得a≥,由①②可得a
2、的取值范围为∪.(2)由(1)知,①当a≤0时,f′(x)在(0,+∞)上单调递增,∴x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在x=1处取得极小值,符合题意;②当01,又f′(x)在上单调递增,∴x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,1)上单调递减,在上单调递增,f(x)在x=1处取得极小值,符合题意;③当a=时,=1,f′(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,
3、不合题意;④当a>时,0<<1,当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意.综上所述,可得a的取值范围为.2.(2018·河南省郑州外国语学校调研)已知函数f(x)=alnx-ex.(1)讨论f(x)的极值点的个数;(2)若a∈N*,且f(x)<0恒成立,求a的最大值.参考数据:x1.61.71.8ex4.9535.4746.050lnx0.4700.5310.588解 (1)根据题意可得f′(x)=-ex=(x>0),当a≤0时,f′(x)<0,函数是减函数
4、,无极值点;当a>0时,令f′(x)=0得a-xex=0,即xex=a,又y=xex在(0,+∞)上是增函数,且当x→+∞时,xex→+∞,所以xex=a在(0,+∞)上存在一解,不妨设为x0,所以函数y=f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以函数y=f(x)有一个极大值点,无极小值点.综上,当a≤0时,无极值点;当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,无极小值点.(2)因为a∈N*>0,由(1)知,f(x)有极大值f(x0),且x0满足x0=a,①可知f(x)max=f(x0)=alnx0-,要使f(x)<0恒成立,即f(x
5、0)=alnx0-<0,②由①可得=,代入②得alnx0-<0,即a<0,因为a∈N*>0,所以lnx0-<0,因为ln1.7-<0,ln1.8->0,且y=lnx0-在(0,+∞)上是增函数.设m为y=lnx0-的零点,则m∈(1.7,1.8),可知00,a<,令g(x)=,x∈(1,m),则g′(x)=<0,所以g(x)在(1,m)上是减函数,且≈10.29,≈10.31,所以10.296、以a的最大值为10.3.(2018·厦门质检)设函数f(x)=xlnx-ax2+(b-1)x,g(x)=ex-ex.(1)当b=0时,函数f(x)有两个极值点,求a的取值范围;(2)若y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,且函数h(x)=f(x)+g(x)在x∈(1,+∞)时,其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角,求a的取值范围.解 (1)当b=0时,f(x)=xlnx-ax2-x,f′(x)=lnx-2ax,∴f(x)=xlnx-ax2-x有2个极值点就是方程lnx-2ax=0有2个解,即y=2a与m(x)=的图象的交点有2个.∵m′(x)=7、,当x∈(0,e)时,m′(x)>0,m(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减.m(x)有极大值,又∵x∈(0,1]时,m(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,08、x2+(b-1)x+ex-ex在x∈(1,+∞)时,
6、以a的最大值为10.3.(2018·厦门质检)设函数f(x)=xlnx-ax2+(b-1)x,g(x)=ex-ex.(1)当b=0时,函数f(x)有两个极值点,求a的取值范围;(2)若y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,且函数h(x)=f(x)+g(x)在x∈(1,+∞)时,其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角,求a的取值范围.解 (1)当b=0时,f(x)=xlnx-ax2-x,f′(x)=lnx-2ax,∴f(x)=xlnx-ax2-x有2个极值点就是方程lnx-2ax=0有2个解,即y=2a与m(x)=的图象的交点有2个.∵m′(x)=
7、,当x∈(0,e)时,m′(x)>0,m(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减.m(x)有极大值,又∵x∈(0,1]时,m(x)≤0;当x∈(1,+∞)时,08、x2+(b-1)x+ex-ex在x∈(1,+∞)时,
8、x2+(b-1)x+ex-ex在x∈(1,+∞)时,
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