数学分析续论

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1、《数学分析续论》模拟试题(二)一x单项选择题(6,x5)(1)设｛〜｝为一数列，对它有[]A.若存在收敛子列，则｛幻」必收敛；B.虽存在发散子列，但｛。“｝仍可收敛；C.若所有子列都收敛，则卩料｝必收敛；D.所冇了列都收敛，但它们可冇不同极限.(2)设/(兀)在(-00,+00).上为一连续函数，则有[]A.值域f((a,b))必为一开区间；B.值域必为一闭区间；C./(/)为闭区间时，/亦必为闭区间；D.以上A、B、C都不一定成立.(3)若/；(«)>0,则35>0,使得当xe(a,tz+5)时，

2、必有[]A・/(x)单调递増；B./(x)>f(a)；C.若广(X)存在，贝I」A成立；D.以上A、B、C都不一定成立.(4)设/(兀)在[6/,b]±nl导，则/(兀)在[6/,b]上必定为[]A.既存在最大值，又存在最小值；B.不能同时存在最大值和最小值；C.在ff(x)=0的点处必取极值；D.以上A、B、C都不一•定成立.(5)已知J/(%)dx>0,这时必有[]'aA.在[a,b]±/(x)>0:B.不能有无穷多个.f(兀)取负值；C./(兀)取正值的兀要比取负值的兀多得多；D.不能只有有限

3、多个/(兀)取正值.二、计算题(10*4)(1)试求下列极限:•21sinrdr①limXTCO2+4+A+2〃n-4limX—>+00'o2/(«)=ln(x2+y2)-x/y(2)设xu=y试求广O)与广Oo)•(3)试求由曲线y=

4、lnx

5、，直线兀=c,兀=£,及兀轴所围曲边梯形的面积S.(4)用条件极值方法(Lagrange乘数法)求内接于椭圆二-+厶厂=1的长方形的最a2b1人血积.三、证明题(10'x3)(1)设f(x)在[6/,b]±连续.试证：f(la9b])=[m9M],其中m与M

6、分别是f(x)在[a,b]上的最小值与最大值.(2)利用凸函数方法(詹森不等式)证明：〔业3+沪+宀I3J3k儿其中a,b,c为任意正数；并讨论当ct,b,c为任意负数时，上述不筹式应作怎样改变?(3)证明：g(1HA工(T)厂点乞)(〃+1)3"+13提示：把上式中的级数看作OCZw=0(2)B；①lim/：—>ocI(3)B；‘2+4+A+2nn-4(4)A；(5)D.-n=lim5n/z—>con—4limX->+coX3.・2兀sinx4limx->+83xlim沁!=()・x—>+oo(

7、2)[解fu)=2xX+)LX2)，H+〉，2Xe~y广（％）=£Te22__T2e2S=j1(-lnx)dx+JInxdx（3）［解］所围曲边梯形如右图所示，其面积为1e=(x-xlnx)1+(xlnx-x)丄1e（4）［解］由题意,2b2依据Lagrange乘数法,设故此为一条件极大值问题.L二xy+九（斗+斗一1）,a2h2并令2九xLx=y+—=（），a（F）j+芋0,h222L?宀—1=0.入/h2由方程组(F)容易解出:b],使得・再由连续,这说明值恒有据题意，内接长方形的最小而积为零

8、；故最人而积为S=4xy=2ah.三、(1)[证]由闭区间上连续函数的最人、小值定理，3xhx2g[a,f(x})=m9f(x2)=M•若X]=x2,则m=M,于是/(x)恒为一常数，结论成立；现不妨设xx0,xe(0,+oo),所以/(对在(()，+oo)上为一凸函数.根据詹森不等式，对任何正数a,b

9、,c(d+"+C丫13,33、<一(。+b'+c).I3丿3而当xg(-oo,0)时，/U)为一凹函数，故对任何负数a,b,c，恒有(«+/?+(?V13,33、、一(Q+b'+c).(3丿3(3)［证］由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级(-WY1数的和.此时可以考虑把所求级数的和看作幕级数su)=y丄丄上——在兀=—处的n=on+13值，于是问题转为计算S(x)•不难知道上述幕级数的收敛域为(-1,1］,经逐项求导得到SXx)=£(-1)"兀"，xe(-l,1]；n=

10、0这已是一个几何级数，其和为001S'(x)=工(―兀)"=-—,xe(-l,1].n=01+兀再通过两边求积分，还原得rv八1S⑴—S(())=ISf(t)dt=Idr=ln(l+x),Jo」o1+r由于这里的5(0)=0,于是求得总(T)"c1、—「1、142—ix“+i_'(3)-皿1+3)_】n3«=o5+1)3J°o