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1、1引言向量，最初被应用于物理学•很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多徳就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则來得到.“向量”一词来口力学、解析儿何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.从数学发展史來看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系.在立体儿何中，通常涉及到求空间角，垂直和空间距离的问题，在解题时主要是设法找出有关角、垂线与距离
2、，并构造三角形，进而在三角形中应用勾股定理和正余弦定理来求解•这种解法需要多种转化技能，且不同的问题需要不同的技巧，学生求解时比较困难.但引入了向量以后，上述三类问题各口就有了比较统一的解法，且容易掌握些本文对用向量方法求空间求空间角，垂直和空间距离的问题的方法做了简单的归纳总结，给出了求空间角、空间垂直、以及空间距离的一般方法及求解过程中所用到的公式，并给出了大量运用向量方法求解的例题，与此同时给岀了一般方法的解法做为对比，从而说明了向量方法的简洁性、优越性.2向量2.1向量的定义及其表示方法数学中，我们把这种既有大小又有方向的量叫做向量⑵向量的一般用黑体小写字母&、0、
3、/•••或b、c…等来表示，手写用aJ｝、C…表不•向量也可以用有向线段來表示•有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.（若规定线段的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点4到终点B的方向和长度，记作而・）在平而直角坐标系中，分别取与兀轴、y轴方向相同的两个单位向量7、）作为-组基底，Q为平而直角坐标系内的任意向量，以坐标原点0为起点作向量OP=a.由平而向量基本定理知，有且只有一对实数(x,y)，使得a=OP=(x,y)f因此把实数对叫做向量2的坐标，记作a=(x,y).其中(兀,刃就是点P的坐标,0P称为点P的位置向量.同理可推得在立体三维坐标
4、系中，分别取与兀轴、y轴、z轴方向相同的3个单位向量心•、云作为一组基底，有且只有一组实数(x,”z),使得°=(x,y,z),因此把实数对(x,y,z)叫做向量方的坐标，记作2=(x,y,z)•其中(兀)沁)，也就是点P的处标，帀称为点P的位置向量.2.2向量的模向量的人小，也就是向量的长度，称作向量的模.向量方的模记作
5、方.注：向量的模是非负实数，是可以比较人小的.因为方向不能比较犬小，所以向量也就不能比较大小•对于向量來说“大于”和“小于”的概念是没有意义的.2.3向量的四则运算及其性质已知两个非零向量亦，作d=(兀］,『］,©)/=(兀2*2,乙2)，d和乙的夹角，
6、记作,并规定兀.两个向量的加法表示的是一个向量，有公式如下a+b=(兀I+无2，)1+〉‘2，石+?2)两个向量的减法表示的是一个向量，有公式如下a-h=(x}-x2.yi-y29z［-z2)向量的数乘表示的是一个与原向量平行的向量，可表示如下Xa=2(%j,yl,zl)=(2%,,Xyx,2^)两个向量的向量积表示的是一个向量，记作方x〔，其方向为垂直于2、b,axb有公式如卜absin(6/,Z?),axh两个向量的数量积是一个数量，记作ab,R有公式ab=向量的数量积的坐标表示：Q厶二西吃+必旳+乙灯向量的性质：ab=Ou>a丄b2一一a=a-a齐丄面a,则
7、7垂直于而a内任意向量，称作而a的法向量.3利用向量求解立体几何中空间角问题空间角度问题包括异而直线所成的角、直线与平而所成的角以及二而角问题，是高中立体儿何屮的一类大题型,用向量方法求解此类问题能把儿何关系迅速转化为数量关系，使问题更加简单，从而求岀如的人小.3・1求异面直线成角问题—>用向量求异面直线所成的角，一般都采用向量数量积公式，经过分析建立适当的空间直如坐标系或找出向量间的关系，然后利用公式可得所求异而直线如：其中Q=（X］，X，Z］）,/?=（兀2』2皿2）・丿例1（2004年天津卷（6））在棱长为2的正方体E、F分别是CC"4D的中点.ABCD—AdGQ中,
8、0是底面ABCD的中心，那么异面直线OE和F0所成的角&等于（）解法一：一般的方法过点E做EH//D.F交BC于点H,再在OEC中运用余弦定理求0E与EC的夹角a・可知a即为所求角•此中方法在计算长度运算量比较大，在做辅助线时也有一定技巧.解法二：可建立空间直角坐标系（如图1）空间向量的数量关系，运用数量积來求解，可得旋二（一1,1,1）,而＞（一1,0,2）,OE=V3,FD}=V5,故有況劇=(—1,1,1)(—1,0,2)=3・乂OE~FD}=y/3>/5cos^,即>/5cos^=3,COS0芈即&=arc
