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1、全国大学生数学竞赛（非数学专业）微分学一、基本概念与内容提要1.出参数方程确定的函数的导数则冬二dydf二d)，/dx二©'(/)二儿‘dxdtdxdtdt0(f)xt'd严⑴d/二以⑴0(/)-0(/)0®1dt(ptydx~[©(ordt2.多元函数微分学全微分：衣二空血臬密•腸式不变^=—dx+—Jy+—dxoydxdydz偏导数的儿何意义：粼規示册緝奇成，，z=/(s)y=>o(xoJoZo)处的切线对和轴的斜率。函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不
2、必要条件。二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。函数连续是可微的必要不充分条件。全微分的近似计算：Az"卩人(兀，刃山+/；(x，y)Ay多元复合函数的求导法:z=/D/(O,v(O]—=—dtdudtdvdtz=/[u(x,y),u(x,y)]当m出&(x,y)v=v(x,y)dzdzdudzdv—=1dxdudxdvdxfdu.dufdu=—dx-dydxdydv=^dx^dydxdy隐函数的求导公式：隐函数F(x,)')fO尘=_・dxFy台7F隐函数F(x,)^)=0—=-一dxEd~
3、y_*(fc(fdy乔一去(一亍石F忑)J比_Py隐函数方程组ygzT[G(x,y,u,v)=Oj』F,G)d(u.v)ar一加6Ga/竺avaG-avFvGrD巩化G)dyJQ(u,y)du_13(F,G)dv_1a(F,G)du_1Q(F,G)OxJ6(x,v)'8x‘J8(u.x)'dyJ6(>v)二、常考例题讲解用基本方法求导数1.设函数y=y(x)由方程xef(y)=ey29确定，其中于具有二阶导数,冃广工1,则器,CF72.已知函数z=w(x,y)eax+,y9且—=0,确定a,b,使得函数z=z(x,y)满足dxdy82
4、zdz8znz=0•Cdccoxoyoxdy3.设函数/⑴有二阶连续的导数,求訝罷4.己知＜2山(1+戶)，求y=t—arctane1V丿5.设函数i心，刃的所有二阶偏导数都连续，空=驾且/心,2切“,dx~dy~W](x,2x)=x29求wfj(x,2x).解:u(x,2x)=x两边对兀求导,得到：山(兀,2兀)+2弘；(兀,2兀)=1,代入”
5、'(兀,2兀)=/求[-x2得：弘；(兀,2兀)=；u[(x,2x)=x2两边对x求导,得到:wfj(兀,2兀)+2u[2(x92x)=2x；—x~u；(x,2x)=两边对x求导，得到«2i(兀
6、,2x)+2m22(x,2x)=-x.以上两式与驾=驾联立，乂二阶导数连续，所以u；2=u：，故U^,2x)=--x8x2dy212J"3用全微分求解隐函数5.设z=z(x,y)是方程F(z+上,z-一)=0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导兀y数，以及Fu(w,v)=Fv(W,v)^(),求证兀3密+小(兀+刃籍+)异笑=0oxdxdydy导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6.设函数/(%)在［0,+oo)上连续，在(0,+oo)上可导,/乞+尸竺=0和dxdy已知lim/x)=0且函数xt0+一川科)满足帶+弊』2詁严必(
7、1).求函数广(x)(x>0)的表达式;7.设函数y=f(x)由参数方程x=2t1歹=0(『)k>j)确定'冃器=忌⑵•若me求出册522q其中0(t)具有一阶导数，曲线y=0(f)与y=fe~uclii+—在匸1处相2e8.设一元函数W=/(r)当0。＜亦时有连续的二阶导数，且/(1)=0,广(1)=1,乂11=/(Jx2+/+Z2)满足方程匕+乜+巳=0,试求f(r)的表达式。dr茁dz~X解：・・・弘=/(心,)沁))，/=广•一(/'：/"))r_f丿"X_fx2fnx2fWXV=—+兀()•_=一+—；—rrr~rrr~r对称地，
8、M=£+2X_2X,m丄帆工yy23zz23rrrrrr・••5+Uyy+叫=/"+2占=0pz21r令P=f—=——,lnP=ln—+lnC=ln—Prr1r2CI
9、1p=广(厂)=-=—(•・・广(1)=1)・•・M)=—+c=__(・・・/(l)=0)厂厂rr注奧+嘤+字=0,称为(三维)拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方dx2dy2dz程，是一种偏微分方程•因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名•在一•般条件下解拉普拉斯方程超出考试范围.本题讨论特殊条件下的拉普拉斯方程求解问题.9.设W=且满足(二维)拉普拉斯方程，求的君达我)分析
10、：函数u=f(x,y)是亍+y2的函数，可以考虑用极坐标进行转化，利用求微分方程的方法得到表达式。mi/•/、r(Oudr%/x铁討(「)+*〃)同理可得斜訂(小訂(J•■•■
