《简易逻辑反证法》PPT课件

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1、简易逻辑一、命题的有关概念1.命题可以判断真假的语句.“非p”形式的复合命题与p的真假相反;2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”.3.简单命题不含逻辑联结词的命题.4.复合命题含有逻辑联结词的命题.5.复合命题真值表“p或q”形式的复合命题当p与q同时为假时为假,其它情形为真;“p且q”形式的复合命题当p与q同时为真时为真,其它情形为假.p非p真假假真pqp或q真真真真假真假真真假假假pqp且q真真真真假假假真假假假假二、命题的四种形式逆否命题:若q,则p.原命题:若p,则q;逆命题:若q,则p;否命题:若p,则q;互逆互逆互否互否否命题若

2、p则q逆否命题若q则p原命题若p则q逆命题若q则p互为逆否否逆为互注:互为逆否命题的两个命题同真假.三、反证法1.一般步骤①反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;②归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.2.命题特点①结论本身以否定形式出现;②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式;③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式;④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.3.特殊结论的反设原结论词大于(>)小于(<)都是都不是至少n个至多n个反设词不大于(≤)不

3、小于(≥)不都是至少有一个是至多n-1个至少n+1个原结论词有无穷多个存在唯一的对任意x,使…恒成立反设词只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个x,使…不成立4.引出矛盾的形式①由假设结论q不成立,得到条件p不成立;②由假设结论q不成立,得到结论q成立;③由假设结论q不成立,得到一个恒假命题;④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.典型例题用反证法证明下列各题:1.某班有49位学生,证明:至少有5位学生的生日同月.3.设f(x)=x2+ax+b,求证:

4、f(1)

5、、

6、f(2)

7、、

8、f(3)

9、中至少有一个不小于.124.设三个正数a,b,c满足条件

10、++=2,求证:a,b,c中至少有两个不小于1.b1a1c12.若p1p2=2(q1+q2),证明关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.证:假设至多有4位学生的生日同月,即:生日在1,2,…,12月的学生人数都不超过4人.则该班学生总数m≤412=48人,与该班有49位学生的条件矛盾,∴假设不成立.∴至少有5位学生的生日同月.1.某班有49位学生,证明:至少有5位学生的生日同月.证:假设这两个方程都没有实根,则△1<0且△2<0,从而有:△1+△2<0.又∵△1+△2=(p12-4q1)+(p22-4

11、q2)=p12+p22-4(q1+q2)=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)2≥0,与△1+△2<0矛盾.即△1+△2≥0,∴假设不成立.故这两个方程至少有一个有实根.2.若p1p2=2(q1+q2),证明关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.证:假设

12、f(1)

13、、

14、f(2)

15、、

16、f(3)

17、全小于,即:12-<1+a+b<1212-<4+2a+b<1212-<9+3a+b<1212-

18、式相加得-4

19、f(1)

20、、

21、f(2)

22、、

23、f(3)

24、中至少有一个不小于.123.设f(x)=x2+ax+b,求证:

25、f(1)

26、、

27、f(2)

28、、

29、f(3)

30、中至少有一个不小于.124.设三个正数a,b,c满足条件++=2,求证:a,b,c中至少有两个不小于1.b1a1c1①a,b,c三数均小于1,证:假设a,b,c中至多有一个数不小于1,这包含两种情况:即01,>1,>1,b1a1c1∴++>

31、3,b1a1c1也与已知条件矛盾.②a,b,c中恰有两数小于1,不妨设01,>1,b1a1c1∴++>2+>2,b1a1c1∴假设不成立.∴a,b,c中至少有两个不小于1.课堂练习1.已知abc0,求证:三个方程ax2+bx+=0、bx2+cx+=0与a4c4cx2+ax+=0中至少有一个方程有实数根.b42.对于函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),当x[-1,1]时,

32、f(x)

33、的最大值为M,求证:M≥.123.方程x2-mx+4=0在[-1,1]上有解,求实数m的取值范围.1.证:设三个方程的判别

34、式分别为△1,△2,△3,由△1+△2+△3=b2-ac+c2-ba+a2-cb=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)