《曲线和方程》概念解析及运用

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1、《◎銭如方経》終念解析员迄用黄建光【内容提要】“曲线和方程”是高中数学数形结合思想的完美体现，它对解析几何的教学有着深远的影响。同时，在教学过程中，《曲线和方程》概念的解析比较理论化、抽象化，学生在掌握过程中有一定的困难，故在教材对概念解析的基础上，本文从多个角度，多个层次来剖析此概念，使概念更加系统、清晰、明朗，同时通过概念的解析，本文有介绍了两个作用在具体解题中的应用。【关犍字】高中数学曲线方程概念解析“曲线和方程”是几何中的“形”与代数中“数”的统一，是“静止”的曲线与“运动”的点的对立和统一。把曲线看成是动点的

2、轨迹，蕴涵了用运动的观点看问题的思想方法；把曲线看成方程的几何农示，方程看作曲线的代数反映，又包含了对应与转化的思想方法。同时，“曲线和方程”是髙中数学数形结合思想的完美体现,这对解析儿何的教学有着深远的影响。一、新教材高二(上)指出：在直角处标系中，如果某曲线C(看作适合菜种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(X,y)二0的实数解建立了如下的关系：1、曲线上的点的处标祁是这个方程的解；2、以这个方程的解为处标的点都是曲线上的点。同时，强调指出：条件①闸明了曲线上的所有点都适合这个条件而无一例外，表示曲线具有

3、纯粹性，或者说方程具有完备性。也就是说曲线上不存在哪-•个点的坐标不是方程的解，即曲线上的所有点没有掺假。条件②阐明了适合条件的所有点都在曲线上毫无遗漏，表示曲线具有完备性，或者说方程具有纯粹性。也就是说这个方程的解为处标的点没有哪一个不在曲线上，即曲线没有漏掉一个以方程的解为坐标的点。(纯粹：即单纯，意为不搀杂别的成分。完备：意为应该有的全都有了。)我们可选用集合的角度来考虑问题:如果直介坐标平面内dli线c上的点所组成的集合记作A,方程f(x,y)=0的解为朋标的点记作集合B,那么条件①说明A匸3,条件②说明BqA

4、,两条件合起来就是A二B,这吋才能说明曲线C是方程f(x,y)=0的曲线，方程f(x,y)=0是曲线C的方程。我们亦可选用充分条件、必要条件及充要条件的角度来考虑问题：市条件①可知，曲线C」：的点的坐标是方程f(x,y)=0的解的充分不必要条件；山条件②可知曲线C上的点的处标是方程f(x,y)=0的解的必要不充分条件；只有条件①②同时成立，我们才能说曲线C上的点的坐标是方程f(x,y)二0的解的充要条件。最后，我们还可选用映射的角度来考虑问题:在平而中建立直角坐标系，那么平而上的点M与实数对(x,y)就建立了对应的关系

5、。点的运动形成了曲线C,耳曲线C相对应的为实数对(x,y),在实数对屮x与y的约束关系就形成了方程f(x,y)=0,对应关系如下：点M按某种规律运动‘曲线C处标(x,y)x,y的制约条件方零f(x,y)二0条件①说明曲线上的点的坐标到方程f(x,y)=0的解的对应能构成一个映射，对于任意的曲线C上的点M(x0,y0)都有/(兀0，儿)二0；条件②说明方程f(x,y)=0的解为坐标的点到曲线上的点的对应也能构成一个映射，即对于满足方程f(x,y)二0任意的一纽解西，必为坐标的点P(xvyJ肯定落在曲线C上(任意的一组解兀

6、］，开满足方程/(xpy,)=0)o结合一一映射的概念：QAtB是从集合A到集合B是映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元索，在集合B屮有不同的象，而且B屮每一个元索都有原象，那么这个映射叫做集合A到集合B的一—•映射。山上而分析可得，只有同时具备了条件①和条件②，曲线C上的点的坐标才与方程f(X,y)=0的解之间构成映射。以上我们从不同的角度來分析了曲线和方程的概念，这个概念的实质是一一对应，即作为曲线C的点集和方程f(x,y)二0的解集{(兀,y)//(X,y)=()}Z间的一一对应，二者缺一不可。这一对应关

7、系即可通过方程研究曲线的性质，乂可以深刻认识方程的儿何背景O通过曲线和方程概念的讲解，我们就可应用它的两个作用。1、判定作用耍判定或证明方程f(x,y)=0是曲线C的方程，曲线C是方程f(x,y)二0的曲线，只要判定它们Z间是否都满足条件①①，或者证明条件①②都成立。2、性质作用如果已知方程f(x,y)=0是线C的方程，曲线C是方程f(x,y)=0的111］线，那么定义屮条件①②就是性质，即条件①②都成立。更进一步而言，我们就可通过曲线的方程来研究曲线的儿何性质。二、由于曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，在教

8、学过程中，我们对结合具休的例子以及多个角度来考虑问题，使学牛彻底弄清曲线和方程的内在联系，从而归纳出曲线和方程的一般概念，强调两个条件缺一不可。下面我们可用具体问题来加深概念的理解：例1、以下方程分别农示的是图中的哪一个图像,为什么？1)y/x-y［y=02)H-

9、y

10、=03)兀-卜卜()-4)x-y=0变形1:A、请找出一个方程